Tengo el valor absoluto de un número complejo ,
$$ r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$$
al $z = x + iy$ es un número complejo.
¿Cómo puedo calcular el Argumento de $z$?
Gracias.
Respuestas
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Usted debe saber que cualquier número complejo se puede representar como un punto en el Cartesiano ($x$-$y$) plano. Es decir, que un número complejo $z=a+b\text i$ se asocia a un cierto punto (es decir $A$) que coordina $(a,b)$ en el plano Cartesiano.
Usted puede haber oído esto como la Argand'Diagrama.
Deje $\tan \theta$ ser la dirección de la relación de los vectores $\vec{OA}$ (Suponga que la línea que une el origen, $O$ y el punto de $A$ a ser un vector)
Entonces, $$\tan\theta =\frac ba \implica \theta= \arctan \Big (\frac ba\Big )$$
Sin embargo, no podremos ir a reclamar $\theta$ $\operatorname {Arg}(z)$ todavía. Hay un pequeño detalle que tenemos que tener en cuenta (Gracias a un usuario por decírmelo!). Tenemos que mirar hacia fuera para el cuadrante en el que nuestro número complejo se encuentra y trabajar en consecuencia.
Ejemplo Decir que hay 2 números complejos $z=a+b\text i$$w=-a-b\text i$. A continuación, $$\operatorname{Arg}(w)=\arctan\Big( \frac {-b}{-a} \Big )= \arctan\Big( \frac {b}{a} \Big )= \operatorname{Arg}(z)$$
que es simplemente absurda. Se sugiere que el $w$, que se encuentra en el tercer cuadrante en el Argand'Diagrama, tiene el mismo argumento de un número complejo ($z$) que en el primer cuadrante. Para corregir este problema, tendremos que poner adelante algunas condiciones simples. Como hemos visto, uno de ellos podría ser algo como: $\text{ if } a,b<0 \text{ then } \operatorname{Arg}(z)=\theta -\pi$
Aquí está una lista de condiciones para el cálculo del Argumento (Esto ya ha sido mencionado en una de las respuestas anteriores, y estoy re-publicarlo aquí). Una vez que usted consiga un sentido intuitivo para esto, se deben surgir de forma natural.
$\varphi = \arg(z) =
\begin{cases}
\theta & \mbox{if } x > 0 \\
\theta + \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y \ge 0\\
\theta - \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0\\
\mbox{indeterminate } & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0.
\end{casos}$
Alternativamente, puede utilizar el hecho de que $|z| \sin \theta= b$ (o, $|z| \cos \theta= a$) y, a continuación, resolver para $\theta$. Sin embargo, usted todavía podría tener que hacer modificaciones de última hora (como hicimos antes) para llegar a la respuesta correcta. Así que este no es el más corto de los dos métodos.
Esko
Puntos
15578
Tenga en cuenta que la "respuesta" $arctan(y/x)$ está mal. A ver que retirar el ejemplo $-1-i$: $\arctan(-1/-1) = 45°$ pero correcto sería $225°$. Y esto no es sólo un problema con la definición de la gama de la argumentación.
La respuesta correcta es la dada por Wikipedia:
$\varphi = \arg(z) = \begin{cases} \arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{if } x > 0 \\ \arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y \ge 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y < 0\\ \frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\ -\frac{\pi}{2} & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0\\ \mbox{indeterminate } & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0. \end{casos}$
Debido a que muchos lenguajes de programación tienen la función de $\operatorname{atan2}(y,x)$, lo que da a la anterior correcta argumento para $x+iy$.
andybenji
Puntos
2007
Primero, recuerde que la $\sin(\theta)$ es un cociente: Tomar cualquier punto de $(x,y)$ tal que la línea a través de $(x,y)$ y el origen hace un ángulo de $\theta$ con el positivo de la $x$ eje. A continuación,$\sin(\theta) = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$.
En nuestro caso específico, $z$ puede ser pensado como nuestro punto (en el plano complejo) . Tomar la $\sin^{-1}$ de este valor, y voilá, ya casi estamos allí. Sólo asegúrese de que usted está viviendo en el cuadrante derecho.
A través de un argumento similar, si $z = x + iy$,$Arg(z) = \tan^{-1}(\frac{b}{a})$, si se siente más cómodo con tagent.
