Demostrar QM-SOY la desigualdad

Question

$$\dfrac{x_1^2+ x_2^2 + \cdots + x_n^2}n \geq \left(\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n\right)^2$$

Creo que no SOY el GM puede ser utilizado aquí. Y simple expansión no ayuda demasiado. ¿Qué debo hacer?

Answer 1

Esta es una consecuencia inmediata de Cauchy-Schwarz desigualdad. El Cauchy-Schwarz desigualdad indica que si $\vec{a},\vec{b} \in \mathbb{R}^m$, luego $$\left \vert \vec{a} \cdot \vec{b} \right \vert \leq \left \Vert \vec{a} \right \Vert \left \Vert \vec{b} \right \Vert$$ donde la igualdad tiene iff $\vec{a}=\lambda \vec{b}$ donde $\lambda \in \mathbb{R}$. En su caso, tome $\vec{a} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n\end{bmatrix}^T$$\vec{b} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1\end{bmatrix}^T$.

Answer 2

Hay muchas maneras que usted puede probar esto. Se llama QM-SOY la desigualdad (usted puede ver a menudo se declaró como la celebración de $x_i\ge 0$, pero luego se sostiene claramente para cualquier $x_i$, ya que el $|x_i|\ge x_i$).

En general, $a_i>0, k_2>k_1$ da (Potencia Media de la Desigualdad): $$\sqrt[k_2]{\frac{a_1^{k_2}+\cdots+a_n^{k_2}}{n}}\ge \sqrt[k_1]{\frac{a_1^{k_1}+\cdots+a_n^{k_1}}{n}}$$

$1)$ Cauchy-Schwarz desigualdad. Multiplicar ambos lados por $n^2$: $$(1+1+\cdots+1)(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)\ge (x_1+x_2+\cdots+x_n)^2$$

$2)$ La desigualdad de Jensen. Vamos $f(x)=x^2$. $f$ es convexa (desde $f''(x)=2\ge 0$), por lo $$\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}\ge f\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)$$

$3)$ La desigualdad de Chebyshev. Vamos a wlog $x_1\ge x_2\ge \cdots \ge x_n$. Multiplicar ambos lados por $n^2$: $$n(x_1x_1+x_2x_2+\cdots+x_nx_n)\ge (x_1+x_2+\cdots+x_n)(x_1+x_2+\cdots+x_n)$$

$4)$ $a^2+b^2\ge 2ab$ ($\Leftrightarrow (a-b)^2\ge 0$). $$n(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)\ge (x_1+x_2+\cdots+x_n)^2$$$$\stackrel{-\sum_{\text{cyc}}x_1^2 } \ffi \frac{\sum_{ \text{cyc} } \left( (x_1^2+ x_2^2)+(x_1^2+x_3^2)+\cdots+ (x_1^2+x_n^2) \right)}{2} \ge \frac{\sum_{\text{cyc}} (2x_1x_2+2x_1x_3+\cdots+2x_1x_n)}{2}$$

$5)$ Muirhead, la desigualdad (esto solo demuestra que para $x_i>0$, pero entonces se mantiene para el real $x_i$, desde $|x_i|\ge x_i$). $$n(x_1^2+ x_2^2+\cdots+x_n^2)\ge (x_1+x_2+ \cdots+x_n)^2 $$$$\stackrel{- \sum_{ \text{cyc}}x_1^2} \ffi \frac{\sum_{\text{símbolo} } x_1^2x_2^0 \cdots x_n^0}{(n-2)!}\ge \frac{\sum_{\text{símbolo}} x_1x_2x_3^0\cdots x_n^0}{(n-2)!},$$

lo cual es cierto porque $(\underbrace{2,0,0,\ldots,0}_{n\text{ terms}})\succ (\underbrace{1,1,0,\ldots,0}_{n\text{ terms}})$ ($\succ$ denota 'majorizes').