Un polinomio es una expresión matemática que implica una suma de potencias en una o más variables multiplicadas por coeficientes. Ahora son
$$\sqrt[3]{y^3},\quad \frac{x^2}{x}\quad\text{or}\quad\left|x\right|\sqrt[2]{x^2}$$
¿polinomios?
Creo que $$\sqrt[3]{y^3}\quad\text{and}\quad\left|x\right|\sqrt[2]{x^2}$$ son polinomios (ya que $x$ puede ser cualquier número), pero $\frac{x^2}{x}$ no es un polinomio (ya que $x\neq 0$ )
"Todos los polinomios son continuos, $\frac{x^2}{x}$ tiene un agujero en $x=0$ ". Un agujero en el dominio clásicamente asumido no hace que una función no sea continua. $1/x=f(x): \mathbb R\ \{0\}\to\mathbb R$ está muy bien contionado.
Bueno... sí y no.
La cuestión es: cuando decimos un polinomio queremos que implique tanto el hecho de que sea una combinación lineal finita de potencias naturales que es habitual, por ejemplo, que definir como una función $f: \mathbb{N} \rightarrow A$ (donde $A$ es cualquier anillo en el que estemos) que es cero para todos, excepto para un número finito de $a \in A$ . (c.f. Álgebra de Lang). Esto es para implicar el hecho de que existe un "indeterminado", y los coeficientes. Los coeficientes vienen dados por $f(n)$ ( $f(0)$ es el primer coeficiente, de lo que sería $X^0$ , $f(1)$ de $X^1$ etc.).
Si vamos a ser puntillosos, incluso $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dado por $f(x)=x^2$ no es un polinomio. Esto es lo que creo que @Arthur está tratando de implicar en su comentario. Esto es lo que él llama una función polinómica.
Sin embargo, no nos da vergüenza llamar a esta función polinómica, ya que existe una equivalencia evidente. Sin embargo, las expresiones que mencionas no recogen la esencia de un polinomio en su forma. Personalmente, no me referiría a ellas como polinomios, sino simplemente como funciones. Pero esto es lo mismo que abstenerse de llamar a una fuerza (en el contexto de la física) un punto en $\mathbb{R}^3$ y en su lugar referirse a él como un vector.
Al fin y al cabo, todo es cuestión de definiciones y de comunicarse uno mismo.
La distinción entre un polinomio y una función polinómica es importante cuando se trabaja con un campo finito. Para cualquier número entero $x$ , $x^2 \equiv x \mod 2$ que dice que el funciones $x \mapsto x^2$ y $x \mapsto x$ en el campo $\mathbb Z_2$ (los enteros mod 2) son los mismos, Sin embargo, el polinomios $X^2$ y $X$ en $\mathbb Z_2$ son diferentes. En un campo infinito, dos polinomios que coinciden como funciones deben ser el mismo polinomio, por lo que la distinción no es tan importante allí.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
2 votos
Son polinómicas funciones (excepto que el segundo tiene una singularidad removible en $x = 0$ ), pero las expresiones son no polinomio.
0 votos
@Dr.MV $y\mapsto \sqrt[3]{y^3}$ es una función polinómica, pero $\sqrt[3]{y^3}$ no es una expresión polinómica.
0 votos
Si se utiliza la rama principal de la raíz del cubo, por ejemplo, $((-1)^3)^{1/3} = e^{i \pi/3} \ne -1$ .
0 votos
De la misma manera $\frac{x^2}{x}$ no es un polinomio, porque la función $f(x) = \sqrt[3]{x^3}$ no está definido en el intervalo $ (-\infty, 0) $
0 votos
@RobertIsrael Do $\sqrt[3]{(-1)^3}$ no es (-1)? Por favor, explique más
1 votos
Función @A.G $\sqrt[3]{z}$ es multivaluada -- en cada punto $z\ne0$ toma tres valores distintos. Uno de ellos en $z=-1$ es $-1$ pero esto no es el principal valor.
1 votos
Se utiliza para trabajar con números complejos. Si $z = r e^{i\theta}$ es la representación polar del número complejo $z$ con $-\pi < \theta \le \pi$ y $r >0$ la principal rama de $z^\alpha$ es $r^\alpha e^{i\alpha \theta}$ .