¿Significado de la antípoda en las álgebras de Hopf?

Question

Lo que entiendo hasta ahora es que Álgebra de Hopf es un espacio vectorial que es a la vez álgebra y álgebra de carbón. Además, existe una operación lineal $S$ que para cada elemento da un llamado "anitpode".

¿Puede alguien dar una explicación intuitiva de lo que es el elemento "antiopde"? ¿Por qué es esencial para la teoría de la representación? ¿Qué significa el axioma relacionado con él (#3 en la wiki)? (parece que sin ese axioma el producto y el coproducto no estarían relacionados entre sí)

Gracias.

Answer 1

$\bullet$ Dejemos que $(C, \Delta, \varepsilon)$ a $k$ -cálculo, y $(Α, \mu, \eta)$ a $k$ -Álgebra. Dentro de la $k$ -v.s. de mapas lineales de $C$ a $Α$ Es decir, en el interior: $Hom_{k}(C,A)$ definimos una multiplicación bilineal entre $f, g \in Hom_{k}(C,A)$ a través de: $$ C \stackrel{\Delta}{\longrightarrow} C \otimes C \stackrel{f \otimes g}{\longrightarrow} A \otimes A \stackrel{\mu}{\longrightarrow} A $$ En otras palabras, para cualquier $f,g \in Hom_{k}(C,A)$ tendremos: $$f \star g = \mu \circ (f \otimes g) \circ \Delta$$ o, por el contrario, en La notación de Sweedler : $$ (f \star g)(c) = \sum f(c_{(1)})g(c_{(2)}) $$ para cualquier $c \in C$ .

La multiplicación $\star \;$ definida anteriormente, es claramente bilineal, y podemos ver fácilmente que $f \star g \in Hom_{k}(C,A)$ . La multiplicación $\star \;$ se llamará producto de convolución .

Ahora, es relativamente fácil demostrar, que, el $k$ -v.s. $Hom_{k}(C,A)$ equipado con el producto de convolución se convierte en un $k$ -Álgebra. La asociatividad puede demostrarse mediante un cálculo directo, mientras que el elemento unitario será $\eta\circ\varepsilon \in Hom_{k}(C,A)$ .

$\bullet$ Pasemos ahora a un ejemplo concreto de la construcción anterior: Sea $Η$ a $k$ - de álgebra. Si denotamos por $H^{c}$ la base $k$ -cálgebra y con $Η^{a}$ la base $k$ -Álgebra. Dentro de la $k$ -v.s. $Hom_{k}(H^{c}, Η^{a})$ es decir, dentro de $End_{k}(H)$ , consideramos el producto de convolución y la estructura del álgebra definida anteriormente. Observamos que el mapa de identidad $Id_{H} : H \rightarrow H$ es un elemento de esta álgebra.

Definición: Dejemos que $Η$ ser un $k$ -Biálgebra. Un mapa lineal $S: H \rightarrow H$ se llamará antipoda de la $k$ -Biálago $Η$ Si $S$ es la inversa del mapa de identidad $Id_{H} : H \rightarrow H$ con respecto al producto de convolución . En otras palabras, si: $$ S \star Id_{H} = Id_{H} \star S = \eta \! \circ \! \varepsilon $$ o, por el contrario, si $$ \mu \circ (S \otimes Id) \circ \Delta = \mu \circ (Id \otimes S) \circ \Delta = \eta \! \circ \! \varepsilon $$ o de forma equivalente (utilizando la notación de Sweedler para la comulgación): $$ \sum S(h_{(1)})h_{(2)} = \sum h_{(1)}S(h_{(2)}) = \varepsilon(h)1_{H} $$ para cualquier $h \in H$ .

Obsérvese que, de acuerdo con la definición anterior, una determinada bialgebra no tiene necesariamente una antípoda. Sin embargo, si tiene una, es fácil demostrar que será única (la prueba es similar a la de la unicidad del elemento inverso en un grupo).

Intuitivamente, se puede decir que el mapa antípoda es una especie de generalización del elemento inverso en un grupo. Esta interpretación intuitiva se apoya en el hecho de que para las álgebras de Hopf de grupo -que han sido uno de los primeros y más estudiados ejemplos de álgebras de Hopf- el mapa de antípodas viene dado por: $S(g)=g^{-1}$ .

La importancia del antípoda, desde el punto de vista de la teoría de la representación, tiene que ver con el hecho de que la presencia de un antípoda (es decir, la estructura algebraica de Hopf), permite construir representaciones duales de una manera que recuerda a la teoría de la representación de grupos. Se puede ver aquí , cap. 9, par. 9.3, p.442, para más detalles.

P.D: En la última parte de tu post, dices

"...parece que sin ese axioma el producto y el coproducto no tendrían relación entre sí"

Tenga en cuenta que esto no es correcto. La relación anterior (en la definición de la antípoda) es ciertamente una "restricción" entre las estructuras del álgebra y del álgebra. Sin embargo, no es la única "restricción" entre la multiplicación y la comulgación. Es necesario que satisfagan una determinada restricción para la estructura bialgebraica (véase aquí para más detalles) y otra (es decir, la actual, descrita anteriormente en la definición del antípoda) para la estructura del álgebra de Hopf.

Answer 2

Un álgebra de Hopf es un ejemplo de un objeto llamado Monoide de Hopf que se puede definir en cualquier categoría monoidal simétrica. Si echas un vistazo a la definición, se parece casi exactamente a la definición de un objeto de grupo, pero con productos tensoriales en lugar de los productos habituales, y con comulgación compatible.

Sin embargo, en cualquier categoría con productos, cada objeto viene automáticamente con una comulgación dada por el mapa diagonal, y cada objeto monoide es canónicamente un bimonoide. Así, si se considera la categoría de conjuntos con el producto cartesiano como producto monoidal, entonces un monoide de Hopf en la categoría de conjuntos es precisamente un grupo, y el mapa antípoda es simplemente el mapa inverso $g \mapsto g^{-1}$ ¡del grupo! Del mismo modo, los monoides de Hopf en la categoría de los colectores suaves son precisamente grupos de Lie.

En la categoría de $R$ -módulos ( $R$ conmutativa) con el producto tensorial habitual, un monoide de Hopf es simplemente un álgebra de Hopf. Así que las álgebras de Hopf son realmente como "grupos" en la categoría de $R$ -y la antípoda debe considerarse como la inversa del grupo.

Desde el punto de vista de la teoría de la representación, la antípoda es esencial porque permite formar la representación dual (al igual que la antípoda=inversión para las representaciones de grupos). Por eso, por ejemplo, las álgebras de Lie tienen representaciones duales: ¡el álgebra envolvente universal es un álgebra de Hopf!

Como apunte: pensar en los grupos como monoides de Hopf en la categoría de conjuntos es muy conveniente, porque se deduce inmediatamente que el álgebra tensorial $T(V)$ de un $R$ -Módulo $V$ es un álgebra de Hopf, y también lo es el anillo de grupo $R[G]$ de un grupo $G$ .