¿Cómo se determina si un conjunto dado de funciones es un subespacio de C [-1,1]?

Question

Estoy teniendo un momento terrible comprensión de subespacios (y, así, álgebra lineal en general). Me presentan con el problema:

Determinar si los siguientes son subespacios de C[-1,1]:

a) El conjunto de funciones f en C[-1,1] tal que f(-1)=f(1)

e) El conjunto de funciones f en C[-1,1] tal que f(-1)=0 o f(1)=0

No estoy seguro de que incluso estoy totalmente de entender la pregunta, y mucho menos cómo resolver el problema. Antes de que me vaya acerca de la copia de mi cabello, puede tal vez alguien me explique cómo abordar este problema?

Answer 1

Ejemplos

Un ejemplo de los miembros de $C[-1, 1]$$f_1(x) = (x+1)(x-1),\quad -1 \leq x \leq 1$, es también un ejemplo de una función que satisface $f_1(-1) = f_1(1)$.

$f_2(x) = (x+1)(2-x), \quad -1 \leq x \leq 1$, es un ejemplo de un miembro que ha $f_2(-1) = 0$ o $f_2(1) = 0$ porque $f_2(-1) = 0$ pero $f_2(1) = 2 \neq 0$.

Buscando ejemplos siempre ayuda a entender y también puede dar contraejemplos cuando estás probando algo falso. Cuando es cierto, que en última instancia tiene que ser capaz de demostrarlo en general, como con (una).

Supongo que debo mencionar, sólo en caso de que introduce confusión en la que se $f_1$ también satisface la (b) condición en la que es cero en ambos extremos. Lógica binaria "o" sólo falla si ambos argumentos fallan.

$f_3 = x^2 + 2$ satisface (a), pero no (b) como $f_3(-1) = f_3(1) = 3 \neq 0$.

Respuesta

Para (a), si $f(-1) = f(1)$$kf(-1) = kf(1)$.

También, si $g(-1) = g(1)$$f(-1) + g(-1) = f(1) + g(1)$.

Con este tipo de problemas, acaba de agarrar un pedazo de papel y un lápiz y saltar. A encontrar una vez que usted comience a escribir las cosas que vas a caer en su lugar. No acabo de probar y pensar.

Para (b) el "o" es la pista, intente $f$ cero a la izquierda y $g$ cero sólo en el derecho. ¿Qué sucede cuando se agrega juntos? Problemas con la función de espacios como este suelen implicar punto sabio operaciones por lo que es realmente sólo la adición de números y ver qué pasa.

En el apéndice 1

Respuesta a (b): Si $f(-1) = 0$, $f(1) = a \neq 0$, $g(-1) = b \neq 0$, $g(1) = 0$, estos dos se satisfacen los requisitos para al menos uno de estos valores a cero.

$$\begin{align*} (f+g)(-1) &= f(-1) + g(-1) = 0 + b = b \neq 0 \\ (f+g)(1) &= f(1) + g(1) = a + 0 = a \neq 0 \end{align*}$$

Y por lo $f+g$ no cumple los requisitos como ambos valores son distintos de cero. Este es un contraejemplo. Sólo tenemos que mostrar que no es un subconjunto cerrado, así que no es un subespacio.