Desigualdad$||\nabla f(x)|| \geqslant c|f(x)|^{\frac{1}{2}}$ (S. Łojasiewicz)

Question

Tengo que probar el caso especial de Łojasiewicz la desigualdad:

Hecho. Deje $\Omega \subset \mathbb{R}^m$ ser abierto y $0 \in \Omega$. Deje $f \in \mathcal{C}^2(\Omega,\mathbb{R})$$f(0)=0$. Supongamos también que la matriz de segundas derivadas parciales es invertible. Demostrar que existe un abierto de vecindad $U \subset \Omega$ $0$ de manera tal que la siguiente desigualdad se cumple: $$||\nabla f(x)|| \geqslant c|f(x)|^{\frac{1}{2}}$$ para algunas constantes $c>0$.

Mi intento: podemos utilizar la expansión de Taylor de la fórmula y, por tanto, para $||u||$, lo suficientemente pequeño, tenemos: $$|f(u)| \leqslant c||u||^2$$ (derivados son continuas). Pero, ¿qué hacer a continuación? La escritura de la fórmula de Taylor para $f'$ me parece bien, pero no tengo idea de cómo averiguarlo. Gracias de antemano.

Answer 1

Puede suponer que$\nabla f(0)=0$ también, ya que de lo contrario es fácil. Mediante un cambio lineal de variables invertible (ver p. Ej., Lema Morse en Milnor), puede llevar su expansión de Taylor en$0$ a la siguiente forma$$f(x)=-\sum_{i=1}^nx_i^2+\sum_{i=n+1}^mx_i^2.$ $ Entonces la igualdad sigue fácilmente.