Estructura del anillo de$m\mathbb Z/n\mathbb Z$

Question

Estoy interesado en la estructura de anillo de$I=m\mathbb Z/n\mathbb Z$ donde$m\mid n$.

Los he examinado en varios$m$ y$n$ y parece que$I\cong\mathbb Z_\frac{n}{m}$. Intenté probar esto con el teorema del homomorfismo al componer la incrustación$\phi :m\mathbb Z\hookrightarrow \mathbb Z$ y la proyección$\pi :\mathbb Z\to\mathbb Z_\frac{n}{m}$. Pero no estoy seguro de cómo verificar que$\ker(\pi\circ\phi)=n\mathbb Z$.

Obviamente,$\phi$ es inyectiva así que$\ker(\pi\circ\phi)=\{mz\in m\mathbb Z\mid \phi(mz)\in \frac{n}{m}\mathbb Z\}$. ¿Cómo es este$n\mathbb Z$?

Answer 1

Nota Si$n=4, m=2$ entonces$\frac{2\mathbb Z}{4 \mathbb Z}$ es un anillo no unitario donde todos los elementos son nilpotentes.

En general, creo que$\frac{m\mathbb Z}{n \mathbb Z}$ no es unitario, a menos que$m=1$. De hecho, todos sus elementos son divisores cero.

Creo que son isomorfos como grupos abelianos pero no como anillos.

Answer 2

En realidad $\ker(\pi \circ \phi) = m\mathbb{Z} \cap \frac{n}{m}\mathbb{Z}=\text{lcm}(m,\frac{n}{m})\mathbb{Z}$, que no ser $n\mathbb{Z}$ si hay un primer $p$ dividir ambos $m$ $n$ pero dividiendo $n$ con el mayor exponente de $m$ (por ejemplo,$n = p^2$$m = p$, en cuyo caso $\text{lcm}(m, \frac{n}{m}) = \text{lcm}(p, p) = p$).

Para este ejemplo, tendrías los mapas $$p\mathbb{Z} \xrightarrow{\phi} \mathbb{Z} \xrightarrow{\pi} \mathbb{Z}_p$$ with $\texto{im}(\pi \circ \phi) = \{0\}$, so the homomorphism theorem concludes $p\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \cong \{0\}$, que es cierto, pero no lo que quería.

Para demostrar que el reclamo original (como grupo abelian isomorphisms) tenga en cuenta que $m\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es un subgrupo de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \mathbb{Z}_n$ y subgrupos de grupos cíclicos son cíclicos.

Por el tercer teorema de isomorfismo tenemos $$\frac{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}{m\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} \cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$$ and hence by Lagrange's theorem we find $|m\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}| = \frac{n}{m}$.

Me gustaría ver una simple prueba, yo no estoy convencido de la 3ª teorema de isomorfismo es realmente necesario...

Answer 3

Este enfoque no funciona, ya que es posible que $z$ a un múltiplo de ambos $n/m$ $m$ sin ser un múltiplo de $n$ - que es exactamente lo que usted está tratando de mostrar. Por ejemplo, si $n=m^2$, luego de ser un múltiplo de $n/m$ $m$ es lo mismo que ser un múltiplo de $m$ solo - lo que obviamente no implica que un número es un múltiplo de a $m^2$.

Lo correcto sería para componer la incrustación $\phi:m\mathbb Z\rightarrow \mathbb Z$ con la reducción de la $\pi:\mathbb Z\rightarrow \mathbb Z_n$. Obviamente, puesto que $\pi$ es inyectiva, el núcleo de la composición es sólo el núcleo de $\pi$, $n\mathbb Z$ - se cruzaba con $m\mathbb Z$, que contiene $n\mathbb Z$. Sin embargo, se tiene el problema de que $\pi\circ \phi$ no es inyectiva; su imagen es la de los elementos de $\mathbb Z_n$ cuales son de la forma $m\cdot x$ algunos $x\in \mathbb Z_n$. Es decir, es el ideal $(m)$$\mathbb Z_n$.