ps
Intenté esto:
ps
Esto parece una sustitución para mí, pero no estoy seguro de qué sustituir.
¡Cualquier ayuda es apreciada! Gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Usted necesita encontrar un factor de integración, de tal manera que la ecuación se convierte en exacta. Más específicamente :
$$(x\sin(y)+y\cos(y))dx+(x\cos(y)-y\sin(y))dy=0 $$
$$\Leftrightarrow$$
$$(x\sin(y)+y\cos(y))+(x\cos(y)-y\sin(y))\frac{dy}{dx}=0$$
Vamos a :
$$R(x,y)= x\sin(y) + y\cos(y)$$ $$\text{and}$$ $$S(x,y)= x\cos(y) - y\sin(y)$$
Esta no es una ecuación exacta, como se mencionó anteriormente, debido a que es :
$$R_y(x,y)\neq S_x(x,y)$$
Así, usted necesita encontrar un factor de integración, de tal manera que :
$$\frac{d}{dy} \left( μ(x)R(x,y) \right)= \frac{d}{dx} \left( μ(x)S(x,y) \right)$$
$$\Rightarrow$$
$$(\cos(y) + x\cos(y)-y\sin(y))μ(x) = μ'(x)(x\cos(y) - y\sin(y)) + μ(x)\cos(y)$$
$$\Leftrightarrow$$
$$\frac{μ'(x)}{μ(x)}=1 \Rightarrow \ln(μ(x))=x \Leftrightarrow μ(x) = e^x$$
Comprobar ahora, como hicimos al principio, que la ecuación dada es exacta (lo voy a dejar a usted).
Ahora, necesitamos definir una función de $f(x,y)$ tal forma que :
$$f_x(x,y) = P(x,y)=e^x(x\sin(y) + y\cos(y))\quad\text{and} \quad f_y(x,y) = Q(x,y)=e^x(x\cos(y)-y\sin(y)+\cos(y))$$
Entonces, la solución estará dada por $f(x,y)=c_1$ donde $c_1$ es una constante arbitraria.
Mediante la integración por el respeto a cada una de las variables, obtenemos (voy a dejar las determinaciones analíticas de las integraciones a usted) :
$$\int f_x(x,y)dx = \dots = g(y) + e^x(y\cos(y) + (x-1)\sin(y)) $$
donde $g(y)$ es una función arbitraria de $y$.
Vamos a diferenciar $f(x,y)$ a fin de encontrar a $g(y)$ :
$$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\dots = \frac{dg(y)}{dy} + e^x(\cos(y) + (x-1)\cos(y) - y\sin(y))$$
Sustituir en $f_y(x,y) = Q(x,y)$ y después de algunos cálculos (que también voy a dejar a usted) , usted obtendrá :
$$\frac{dg(y)}{dy}=0 \Rightarrow g(y) = 0$$
lo que significa que :
$$f(x,y) = e^x(y\cos(y) + (x-1)\sin(y))$$
y puesto que hemos asumido que la solución será de la forma$f(x,y)=c_1$, entonces la solución de $y(x)$ está dada por :
$$e^x(y\cos(y(x)) + (x-1)\sin(y(x)))=c_1$$
Lo siento por dejar una gran cantidad de cálculos para el lector (usted), pero fue una solución de largo.
