Aquí es Prob. 5, 10 Segundos, en el libro de Topología por James R. Munkres, 2ª edición:
Mostrar el buen orden teorema implica el axioma de elección.
Aquí está la buena Ordenación Teorema:
Si $A$ es un conjunto, existe un orden de relación en $A$ que es un buen orden.
Y, aquí es el Axioma de Elección:
Dada una colección de $\mathscr{A}$ de los disjuntos no vacíos conjuntos, existe un conjunto $C$ consiste de exactamente un elemento de cada elemento de $\mathscr{A}$; es decir, un conjunto $C$ tal que $C$ está contenido en la unión de los elementos de $\mathscr{A}$, y para cada una de las $A \in \mathscr{A}$, la $C \cap A$ contiene un único elemento.
Ahora, aquí está mi intento de Prob. 5, S de 10:
Suponemos que el buen orden teorema sostiene.
Deje $\mathscr{A}$ ser (no vacío) de la colección de disjuntos no vacíos conjuntos.
A continuación, para cada una de las $A \in \mathscr{A}$, existe un orden de relación $<_A$ $A$ que es un buen orden, y en virtud de esta relación, el conjunto $A$, siendo un no-vacío es subconjunto de sí mismo, tiene un menor elemento, que se llame a $a_A$.
Formemos el conjunto $C$ como sigue: $$ C = \left\{ \ a_A \ \colon \ A \in \mathscr{A} \ \right\}. $$ A continuación, $C$ es un conjunto que contiene exactamente un elemento de cada conjunto en $\mathscr{A}$.
Es esto una prueba de la correcta? Si no, entonces ¿dónde están los problemas en ella?
¿El recíproco de este resultado se mantenga demasiado? Si es así, entonces, ¿cómo demostrarlo? Si no, entonces, ¿cómo construir un contra-ejemplo?
