¿Esta secuencia asociada a los números primos tiene un nombre y / o dónde puedo obtener más información al respecto?

Question

Si entiendo correctamente, los siguientes son verdaderas:

• Sobre un campo finito, dos curvas elípticas son isogeneous iff tienen el mismo número de elementos.
• Si $p$ es primo, luego de más de $\mathbb{F}_{p^2}$, todos los supersingular curvas elípticas son isogeneous.
• (Creo que) para todos los números primos $p$, sostiene que hay una supersingular de curva elíptica sobre $\mathbb{F}_{p^2}.$

Poner esto juntos, me imagino que hay un mapa

$$\mathbb{P} \rightarrow \mathbb{N}$$

que se asigna a cada prime $p$ el número de elementos de cualquier (y por lo tanto todos) supersingular de curva elíptica sobre $\mathbb{F}_{p^2}$. Esto produce una secuencia de números naturales.

Pregunta. ¿Esta secuencia tiene un nombre y/o dónde puedo aprender más acerca de él?

Answer 1

Como se cita en la Construcción de supersingular curvas elípticas por un Corredor, un teorema de Waterhouse implica que un supersingular de curva elíptica con traza de Frobenius $t$ (por lo tanto, $p^2 + t + 1$ puntos) existe más de $\mathbb{F}_{p^2}$ fib ya sea

• $t = \pm 2p$
• $t = \pm p$ $p \not \equiv 1 \bmod 3$ , o
• $t = 0$ $p \not \equiv 1 \bmod 4$.

Esto se contradice con su reclamo. El problema con el argumento de que Tate isogeny teorema implica que dos curvas elípticas son isogenous $\mathbb{F}_q$ fib $|E_1(\mathbb{F}_q)| = |E_2(\mathbb{F}_q)|$, pero cuando la gente dice que el supersingular isogeny gráfico está conectado se están refiriendo a isogenies $\overline{\mathbb{F}_q}$. Si isogeny se define sobre$\mathbb{F}_{q^n}$, a continuación, sólo se puede concluir que $|E_1(\mathbb{F}_{q^n})| = |E_2(\mathbb{F}_{q^n})|$.

Explícitamente, considere en $\mathbb{F}_{p^2}$ un supersingular de curva elíptica $E_1$$t = 2p$, lo $(p + 1)^2$ puntos, y otro supersingular de curva elíptica $E_2$$t = -2p$, lo $(p - 1)^2$ puntos. En el primer caso los valores propios de Frobenius sobre $\mathbb{F}_{p^2}$ $p, p$ y en el segundo caso se $-p, -p$, del que se desprende que

$$|E_1(\mathbb{F}_{p^4})| = |E_2(\mathbb{F}_{p^4})| = p^4 + 2p^2 + 1 = (p^2 + 1)^2$$

por lo $E_1$ $E_2$ son isogenous $\mathbb{F}_{p^4}$ pero no $\mathbb{F}_{p^2}$.

Del mismo modo, cuando se $t = \pm p$ los autovalores de Frobenius se $\pm p \omega, \pm p \omega^2$ donde $\omega$ es una primitiva de la tercera raíz de la unidad para obtener una isogeny a $E_1$ o $E_2$ $\mathbb{F}_{p^6}$ y a la vez más de $\mathbb{F}_{p^{12}}$, y al $t = 0$ los autovalores de Frobenius se $pi, -pi$, por lo que tenemos un isogeny a $E_1$ $E_2$ más de $\mathbb{F}_{p^8}$.