¿Qué tan similares son $l_2$ y $L_2[a,b]$ ?

Question

El primer espacio es el espacio de la secuencia infinita que tiene una norma similar al espacio euclidiano. El segundo es el de las funciones cuadradas integrables. ¿Hay isometría o isomorfismo entre ellos?

Answer 1

Son isométricamente isomorfos. Y la prueba es muy sencilla: basta con que ambos tengan una base ortonormal contable. Así que toma bases ortonormales $\{e_n\}$ y $\{f_n\}$ de $\ell^2$ y $L^2$ respectivamente.

Ahora definamos, en el tramo de $\{e_n\}$ , $$ W\sum_{n=1}^m a_n e_n=\sum_{n=1}^m a_n f_n. $$ Tenemos \begin{align} \left\|W\sum_{n=1}^m a_n e_n\right\|^2 &=\left\|\sum_{n=1}^m a_n f_n\right\|^2=\sum_{n=1}^m|a_n|^2=\left\|\sum_{n=1}^m a_n e_n\right\|^2. \end{align} Así que $W$ es lineal e isométrico, por lo que se extiende a un operador lineal $W:\ell^2\to L^2$ , todavía isométrico.

Sólo queda por ver que $W$ está en: $$ \sum_n a_n f_n=W\sum_n a_n e_n. $$

Tenga en cuenta que lo anterior no tiene nada que ver con las particularidades de $\ell^2$ y $L^2$ : dos espacios de Hilbert cualesquiera de la misma dimensión son isométricamente isomorfos.

Answer 2

Voy a explicar el comentario de David Ullrich en aras de la exhaustividad.

Por comodidad, trabajaré con el caso $a = 0$ y $b = 1$ . En caso contrario, hay que modificar las funciones de base $\{e_{n}\}_{n \in \mathbb{Z}}$ (introducido a continuación) en consecuencia.

A continuación, si $f \in L^{2}([0,1])$ y $n \in \mathbb{N}$ definir el $n$ coeficiente de Fourier $\hat{f}(n)$ por $$\hat{f}(n) = \int_{0}^{1} f(x) e^{- i 2 \pi n x} \, dx.$$
Demostraré que la función $\mathcal{F} : f \mapsto \hat{f}$ es un isomorfismo isométrico de $L^{2}([0,1])$ a $\ell^{2}(\mathbb{Z})$ .

Dejemos que $e_{n} : [0,1] \to \mathbb{C}$ sea dada por $$e_{n}(x) = e^{i 2 \pi n x}.$$
En primer lugar, mostraré $\{e_{n}\}_{n \in \mathbb{Z}}$ es un sistema ortonormal completo en $L^{2}([0,1])$ (es decir, un conjunto ortonormal con tramo denso). La ortonormalidad es un ejercicio de cálculo: $$\int_{0}^{1} e_{n}(x) \overline{e_{m}(x)} \, dx = \int_{0}^{1} e^{i 2 \pi (n - m) x} \, dx = \delta_{nm}.$$ La densidad es un poco más trabajada.

Dejemos que $\mathcal{A} = \text{span} \{e_{n} \, \mid \, n \in \mathbb{Z}\}$ . Entonces $\mathcal{A} \subseteq C([0,1])$ es un álgebra autoadjunta que separa puntos y no desaparece en ninguna parte, es decir, si $x \neq y$ , entonces hay un $f \in \mathcal{A}$ tal que $f(x) \neq f(y)$ y si $x \in [0,1]$ , entonces hay un $f \in \mathcal{A}$ tal que $f(x) \neq 0$ . Dejo al lector la tarea de verificar estas afirmaciones. (Sugerencia: utilice funciones trigonométricas.) Por el teorema de Stone-Weierstrass, $\mathcal{A}$ es denso en $C([0,1])$ (con respecto a la norma suprema). Obsérvese que la densidad de $\mathcal{A}$ también puede demostrarse utilizando el núcleo de Fejer (u otras "aproximaciones de la identidad"), lo que sin duda merece la pena investigar.

Desde la inclusión $i : C([0,1]) \to L^{2}([0,1])$ es continua con imagen densa, se deduce que $\mathcal{A}$ es denso en $L^{2}([0,1])$ . Esto demuestra que $\{e_{n}\}_{n \in \mathbb{Z}}$ es un sistema ortonormal completo en $L^{2}([0,1])$ .

Concluimos que si $f, g \in L^{2}([0,1])$ entonces \begin{align*} \int_{0}^{1} f(x) \overline{g(x)} \, dx &= \sum_{n \in \mathbb{Z}} \langle f, e_{n} \rangle_{L^{2}([0,1])} \langle e_{n}, g \rangle_{L^{2}([0,1])} \\ &= \sum_{n \in \mathbb{Z}} \hat{f}(n) \overline{\hat{g}(n)} \end{align*} donde la última igualdad se deduce de la definición de los coeficientes de Fourier. Esto demuestra que $\mathcal{F} : f \mapsto \hat{f}$ es un isomorfismo isométrico.

El $L^{2}$ -límite $f(x) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \hat{f}(n) e^{i 2 \pi n x}$ es una forma de introducir el estudio de las series de Fourier y la anlisis armnica. El RHS se llama la serie de Fourier de $f$ .

Answer 3

Son isomorfos como espacios de producto interno.

En primer lugar, dejemos claro lo que $\ell^2$ es. Es el espacio de las secuencias $(c_n)$ para lo cual $\displaystyle\sum_n |c_n| < \infty.$

Si $c$ es la secuencia de coeficientes de Fourier de una función cuadrada-integrable $f$ en $[a,b],$ entonces la correspondencia $c \longleftrightarrow f$ es un isomorfismo - una isometría lineal. Véase Teorema de Riesz-Fischer .

Answer 4

Usted ya sabe que $L^2[a,b]$ tiene una base ortonormal contable $(f_n)_{n=1}^\infty$ .

Definir un mapa lineal $A : L^{2}[a,b] \to \ell^2$ como

$$Af = \Big(\langle f, f_n\rangle\Big)_{n=1}^\infty = \Big(\langle f, f_1\rangle, \langle f, f_2\rangle, \langle f, f_3\rangle, \ldots\Big)$$

para todos $f \in L^2[a,b]$ .

$A$ es una isometría por La identidad de Parseval :

$$\|f\|^2_2 = \sum_{n=1}^\infty \left|\langle f, f_n\rangle\right|^2 = \left\|\Big(\langle f, f_n\rangle\Big)_{n=1}^\infty\right\|^2_2 = \|Af\|^2_2$$

$\operatorname{Im} A$ es claramente denso en $\ell^2$ porque contiene la base canónica $(e_n)_{n=1}^\infty$ para $\ell^2$ . A saber: $Af_n = e_n$ para todos $n \in \mathbb{N}$ .

También, $\operatorname{Im} A$ está completo porque $L^2[a,b]$ es completa y las isometrías lineales preservan la completitud. En particular, $\operatorname{Im} A$ es un subespacio cerrado de $\ell^2$ Así que..:

$$\ell^2 = \overline{\operatorname{Im} A} = \operatorname{Im} A \subseteq \ell^2 \implies \operatorname{Im} A = \ell^2$$

Por lo tanto, $A$ es un isomorfismo isométrico entre $L^2[a,b]$ y $\ell^2$ .

En general, cualquier espacio de producto interno separable es isométricamente isomorfo a un subespacio denso de $\ell^2$ a través del mismo isomorfismo. Además, los espacios de Hilbert separables son isomórficos a $\ell^2$ .

Answer 5

Sugerencia $L^2([a,b])$ es separable

Utilice esto para construir una biyección entre ONB.