Demostrando que $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{a_1^{1/s}+a_2^{1/s}+\cdots +a_n^{1/s}}{n}\right)^s$ converge al $\sum_{n=1}^{\infty}a_n $ converge

Question

Suponga que $a_n\ge0$ tal que $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n $$ converges, then show that for every $s>1$ $ $ el siguiente serie converge también: $$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{a_1^{1/s}+a_2^{1/s}+\cdots +a_n^{1/s}}{n}\right)^s.$$

No he logrado manejar esto con la desigualdad de Hölder. Cualquier consejo o sugerencia será bienvenida.

También puede ser útil para ver que no es un Césaro suma de $(a_n^{1/s})_n$ que aparece en la última de la serie.

Answer 1

Converge por Hardy desigualdad: $$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{a_1^{1/s}+a_2^{1/s}+\cdots +a_n^{1/s}}{n}\right)^s\leq \left(\frac{s}{s-1}\right)^s\sum_{n=1}^{\infty} a_n.$$