Límite infinito de una función derivable

Question

Deje $f:[a,+\infty) \to \Bbb{R}$ ser una función derivable con la propiedad: $$\inf\{f'(x)|x>a\}>0$$Prove that $\lim_{x \+\infty}f(x)=+\infty$

Aquí está mi solución:

Deje $c=\inf\{f'(x)|x>a\}>0$ $x \geq a+1$

Del Valor medio Teorema existe $x_0 \in [a+1,x]$ tal que $$f(x)=f(a+1)+f'(x_0)(x-a+1)$$

Pero $f'(x) \geq c,\forall x \geq a+1$

Por lo tanto $$f(x) \geq f(a+1)+c(x-a+1),\forall x \geq a+1 \Rightarrow \liminf_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$$

Por lo tanto $\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$

Es mi solución correcta o me estoy perdiendo algo?

Gracias de antemano.

Answer 1

Creo que su argumento es correcto. A partir de un escrito perspectiva, en lugar de utilizar $a+1$ elegiría $b>a$ y las desigualdades que sería un poco mejor; pero supongo que es una cuestión de gusto.

Answer 2

Todavía hay un par de pasos para llegar a la conclusión de que el límite es el infinito, a pesar de que son triviales suficiente de que su instructor es probable que deje que ellos se deslicen. Usted necesita demostrar que, dado cualquier M, existe x₀ tal que si x>x₀ , entonces f(x) > M. Así que usted puede tomar x₀ = (M-f(a))/c + a. Usted no necesita el MVT, sólo se puede utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo:

f(x) = [f(x)-f(a)]+f(a)

La parte entre corchetes es igual a la integral de la a a la x de f'(x), por lo que

f(x) =

[integral(f'(x)) de la a a la x] +f(a) >

c*(x-a)+f(a)

Puesto que x > x₀ = (M-f(a))/c + y c>0, podemos sustituir en la x de arriba y preservar la desigualdad:

f(x) >

c*(M-f(a))/c + a - a)+f(a) =

c*(M-f(a))/c +f(a) =

M-f(a)+f(a) =

M

Así que f(x) > M, QED.