M y n son enteros positivos tales que a $2^n - 3^m > 0$. Demostrar (o refutar) que $2^n - 3^m \geqslant 2^{n-m}-1$.

Question

Dado que el $2^n - 3^m > 0$, sé que $n > m\log_{2}3$ (*). Si $2^n - 3^m \geqslant 2^{n-m}-1$, $n>= m + \log_{2}\frac{3^m-1}{2^m-1}$ (**).

Este es el resultado cuando me gráfico a cabo ($m$ -> $x$, $n$ -> $y$): https://i.stack.imgur.com/yRCu7.png (*) y (**) corresponden a los de rojo y azul con sombra de área, respectivamente. La desigualdad podría afirmar que, por $m$, $n$ enteros, si $(m, n)$ se encuentra en la zona roja, también en la zona azul. En otras palabras, no hay ninguna en celosía punto en el único-rojo-área sombreada.

La mencionada región crítica está delimitado por el eje de las y (dado que $m$, $n$ son positivos), la línea recta $y_1 = x \log_{2}3$, y la curva de $y_2 = x + \log_{2}\frac{3^x-1}{2^x-1}$ que los enfoques $y_1$ $x$ enfoques infinito (demostrado el uso de límites). Desde $\log_{2}3$ es irracional, $y_1$ no pase a través de cualquier red de punto (excepto en el país de origen), y la distancia entre el $y_2$ $y_1$ se hace más pequeño y más pequeño de lo $x$ se hace más grande, es más y más improbable que la región crítica pasa a través de algunas de celosía puntos al $x$ aumenta. Este apoyo de mi observación de que para la gran m (dicen $m=100$), $2^n-3^m$ no es sólo "mayor que o igual a" a $2^{n-m}-1$ pero EXTREMADAMENTE grandes ($3\cdot 10^{29}$ veces más grande en este caso)! La distancia entre las dos tiende a hacerse más grande a medida que m aumenta, lo que me hace creer que la desigualdad se cumple para todos los números.

Por otro enfoque, veo que la desigualdad tiene más posibilidades de fallar como $n$ disminuye y/o $m$ aumenta; en otras palabras, sólo tenemos que tomar la $n$ como una función de $n(m)$ es igual al menor número posible tal que $n > m\log_{2}3$. Desde $n$ es un entero, $n(m) = \lceil m\log_{2}3\rceil$.

Ahora reemplace $n$ $n(m)$ en (**): $$\lceil m\log_{2}3\rceil \geqslant m + \log_{2}\frac{3^m-1}{2^m-1}.$$ Subtract both sides by $\log_{2}(3)m$: $$\lceil m\log_{2}3\rceil - m\log_{2}3 \geqslant \log_{2}\frac{3^m-1}{2^m-1} - m\log_{2}\left(\frac{3}{2}\right).$$ The left side of the inequality is the difference of $m\log_{2}3$ and its rounded-up integer, the right side is the difference of $y_2$ and $y_1$ in the graphing section. Here is the graph of the two: https://i.stack.imgur.com/sxwjY.png Blue and red line correspond to left and right side, respectively; horizontal axis represents $m$. As seen, the left side values jumps back and forth somewhere between $0$ and $1$, while the right approaches zero very quickly (already $0.000175$ at $m=13$), so I hypothesized that the inequality is always true, which would prove the conjecture in my question. However, I have no idea where to go next, since the value of $\lceil m\log_{2}3\rceil - m\log_{2}3$ looks pretty "random" to me; I mean, $m\log_{2}(3)$ es un número irracional (tiene un número infinito de valores decimales sin patrón), ¿cómo puedo predecir la diferencia de su forma redondeada-up entero y a sí mismo?

Por el camino, me di cuenta de esta desigualdad, mientras que la solución de una (no relacionados) problema de matemáticas, y tengo curiosidad de si es realmente cierto para todos los números o no (lo he comprobado con el equipo de m a 10 millones de dólares). Mi planteamiento anterior puede estar completamente equivocado, por lo que no sólo se adhieren a ella. Agradezco cualquier idea/sugerencia tuya sobre esta conjetura o las direcciones que debo ir que puede ayudar a probar esto.

Muchas gracias.

Answer 1

Respuesta: es Posible contra-ejemplos deben satisfacer $m<e^{28}$$n<e^{29}$, por lo que sólo un número finito de ellos existe. De esta manera se sigue por Baker teorema acerca de los límites inferiores de la linealidad de las formas de los logaritmos.

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Para demostrarlo, vamos a $(m,n)$ ser un ejemplo contrario, el de que la $3^m <2^n <3^m+2^{n-m}-1$. Tenemos $$\begin {align} 0 <n\log (2)-m\log (3) &<\log\frac {1-3^{-m}}{1-2^{-m}}\\ &<\frac {1-3^{-m}}{1-2^{-m}}-1\\ &<2^{-m} \end {align}$$

Por Baker del teorema de existencia de una efectiva constante $C$ (no dependiendo de la $n,m$) tales que $$n\log (2)-m\log(3) >n^{-C} $$ para todos los $n,m$ tal que $n\log (2)-m\log(3) >0$.

Esto conduce a $n^{-C}<2^{-m } $, lo que implica $\frac m{\log(n)}<\frac C{\log(2)}$ por lo tanto $\frac m {\log (n)} $ está delimitado por un efectivo constante. Por otro lado $n\log (2)-m\log (3)<2^{-m}<1$ da $\log (n)<\log (m)+1$ por lo tanto \begin{align*} \frac m {\log (m)} &\leq\frac{3m}{1+\log(m)}\\ &<\frac{3m}{\log(n)}\\ &<\frac{3C}{\log(2)} \end{align*}

eso es $\frac m {\log (m)} $ está delimitado por un efectivo constante.

Por la efectividad de la constante, es suficiente para comprobar la imposibilidad de $3^m <2^n <3^m+2^{n-m}-1$ para un número finito de valores de $m,n $.

En particular, una explícita resultado por Baker y Wüstholz da $$C=18\cdot 3!\cdot 2^3\cdot 32^4\cdot\log(4)\cdot 2\cdot 3<8\cdot 10^9$$ a partir de la cual $$\frac m{\log(m)}<4\cdot 10^{10}$$ que es satisfecho por $m<e^{28}$. Por tanto, posible contra-ejemplos están delimitadas por $m<e^{28}$. Desde $\log(n)<\log(m)+1$ tenemos $n<e^{29}$, por lo que sólo un número finito de ejemplos de lo contrario puede que existe.

Answer 2

Respuesta: Existen en la mayoría de un número finito de contraejemplos. Esto está relacionado con la irracionalidad de medida $\mu$ $\log 3/\log 2$ , que es finito (y efectivamente boundable) de acuerdo a este artículo por Yann Bugeaud, Teorema 1.1. Lo que no sé es si podemos obligado a los posibles contraejemplos.

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Tenemos por el valor medio teorema de $\exp$: $$\begin{align*}2^n-3^m &\geq 3^m (n\log 2-m\log 3)\\ &\geq 3^m n\log 2 \cdot n^{-\mu-\varepsilon}\end{align*}$$ para (decir) $\varepsilon=0.1$, excepto, posiblemente, un número finito de pares $(m,n)$ proveniente de excepcionalmente buenas aproximaciones de $\log3/\log 2$.

Para terminar, la idea es que la desigualdad es trivial, o $3^m$ es lo suficientemente cerca de a $2^n$ a mostrar que este es mayor que $2^{n-m}$.

Tenga en cuenta que (menos importante)

• $m\leq n-1$ , excepto para valores pequeños
• Podemos ignorar la $+1$ en el lado derecho debido a que el lado izquierdo es impar

y lo que es más importante:

• Si $2^{n-1} \geq 3^m$ es trivial, debido a la $2^n-3^m > 2^{n-1} \geq 2^{n-m}$

por lo que podemos suponer $3^m\geq 2^{n-1}$.

Ahora $$6^m \geq 6^{(n-1)\log2/\log 3} > 3^{n-1}$$ (utilice una calculadora para la última desigualdad), de modo que $$3^m >2^n/2^m \cdot 1.5^n \cdot\tfrac13=2^{n-m}\cdot 1.5^n\cdot\tfrac13$$ donde guardamos $1.5^n$ a cuidar de los factores de $n^{-\ldots}$.

La combinación de todo, $$\begin{align*} 2^n-3^m &\geq 3^mn\log 2 \cdot n^{-\mu-\varepsilon}\\ &>2^{n-m}1.5^n\cdot\tfrac13\cdot n\log 2 \cdot n^{-\mu-\varepsilon}\\ &>2^{n-m}\end{align*}$$ para $n$ suficientemente grande (debido a $\mu$ es finito!), excepto, posiblemente, un número finito de pares $(m,n)$.