Compruebe surjectivity de la función $f$ satisfacción: $f(x)+f(x^2)=x$

Question

Compruebe surjectivity de la función $f:\Bbb R \rightarrow \Bbb R$ satisfacción: $\forall x \in \Bbb R:f(x)+f(x^2)=x$

Sé cómo comprobar una función es surjective si tenemos expreso de la fórmula,pero no tienen idea de para este tipo de pregunta relacionada con un funcional de la ecuación!

Answer 1

Esto no es cierto a menos que asumimos $f$ es continua.

Nota primero que podemos utilizar la relación en varios puntos simultáneamente para derivar la siguiente ecuación: $$f(x)-(-1)^nf(x^{2 ^n})=\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i\left(f(x^{2^i})+f(x^{2^{i+1}})\right)=\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^ix^{2^i}.$$ Ahora, supongamos que definir un conjunto $S_x=\{\pm x^{2^n}:n\in\mathbb Z\}$ donde $x$ es un número real positivo distinto de $1$. Podemos usar la ecuación anterior para determinar el valor de $f(y)$ $f(x)$ por cada $y\in S_x$ - esto se deduce de la observación de que $f(x)-f(-x)=f(x)+f(x^2)-f(x)-f(x^2)=x-(-x)=2x$ y el uso de la relación anterior, señalando que es a la vez necesaria y suficiente (y conste). Tenga en cuenta que $f(y)$ siempre depende de $f(x)$ lineal (y no trivial). Como $S_x$ es countably, esto implica que, para cualquier $\alpha\in \mathbb R$, se puede elegir $f$ $S_x$ tal que $\alpha \not\in f[S_x]$.

Tenga en cuenta que, desde el si $y\in S_x$ tenemos $y^2\in S_x$ y por el contrario si $y^2\in S_x$$y\in S_x$, que en realidad es suficiente para mostrar que $f$ satisface la relación en cada una de las $S_x$ individualmente. Sin embargo, si elegimos $\alpha$ no $f(0)=0$ ni $f(1)=\frac{1}2$ y, a continuación, corregir $f$ perder este valor en cada $S_x$ (usando el axioma de elección), nos encontramos con que $f$ es realmente no surjective.

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Si $f$ es continuo, a continuación, muestra de ello es surjective cantidades a mostrar que no es ni delimitada por encima ni por debajo.

Elija algunas de $x>1$. Observar que si dividimos la primera ecuación en el post por $x^{2^{n-1}}$ y, a continuación, tomar un límite de $n$$\infty$, observando que desde $x^{2^n}$ crece más rápido que cualquier función exponencial, podemos cancelar casi la totalidad de la suma, se obtiene: $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f(x^{2^n})}{x^{2^{n-1}}}=1.$$ Por lo tanto, $f$ es ilimitado arriba. Sin embargo, esto da que $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f(-x^{2^n})}{x^{2^n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f(x^{2^n})-x^{2^n}}{x^{2^{n}}}= -1.$$ por lo $f$ también es no acotada a continuación.

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Uno podría también nota que en realidad se puede escribir una ecuación para $f$ si es continua* el uso de la primera ecuación inteligentemente (básicamente, el envío de $n$$-\infty$) y observando que $f(1)=1/2$$f(1)+f(1^2)=1$. Usted tiene que tratar con una convergencia tema sutilmente (de ahí la sustracción en la suma), pero por otra parte tenemos, por $x>0$ que: $$f(x)=\frac{1}2-\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^i(x^{2^{-i}}-1)$$ A continuación,$f(0)=0$$f(-x)=f(x)-2x$.

También podemos, por $|x|<1$, el envío de $n$ hasta el infinito en la primera ecuación, se derivan de una potencia de la serie en torno a cero: $$f(x)=\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^ix^{2^i}.$$ Por desgracia, no es muy claro si las dos definiciones de $f$ está de acuerdo en cualquier lugar, así que es difícil decir si esto define una función continua.