una simple prueba de que $\pi$ es irracional por Ivan Niven

Question

El siguiente es Ivan Niven simple prueba de que $\pi$ es racional:

Aquí yo no entiendo esta parte:

Para $0\lt x\lt \pi,$ $$0\lt f(x)\sin x\lt {\pi^na^n\over n!}$$

Primero de todo, cómo él llegó a la conclusión de esta desigualdad? En segundo lugar, sabiendo que por lo suficientemente grandes de n, la integral en (1) es arbitrariamente pequeño ; cómo él llegó a la conclusión de que (1) es falsa y por lo tanto $\pi$ es irracional?

Answer 1

Para $0 < x < π$, ten en cuenta que $\displaystyle π = \frac{a}{b}$, $$\begin{align*}0 < f(x) \sin x \leqslant f(x) &= \frac{1}{n!} x^n (a - bx)^n = \frac{1}{n!} \left(-b\left(x - \frac{a}{2b}\right)^2 + \frac{a^2}{4b}\right)^n\\ &\leqslant \frac{1}{n!} \left(\frac{a^2}{4b}\right)^n = \frac{1}{n!} \left(\frac{πa}{4}\right)^n < \frac{π^n a^n}{n!}. \end{align*}$$

Para la segunda pregunta, un entero positivo debe ser al menos de $1$, pero la integral tiende a $0$ al $n \to \infty$, lo cual es una contradicción.

Answer 2

Primero con respecto a la desigualdad :

Considere el polinomio $f(x)$ en el intervalo de $[0,\pi]$,

$$f(x) = \frac{x^n(a-bx)^n}{n!},$$

$$f(x) = \frac{x^n a^n (1-bx/a)^n}{n!},$$

$$f(x) = \frac{x^n a^n (1-x/\pi)^n}{n!},$$

Ahora tenga en cuenta que$0\leq x/\pi \leq 1$, lo que implica que $0 \leq (1-x/\pi) \leq 1$

$$f(x) = \frac{x^n a^n }{n!} (1-x/\pi)^n \leq \frac{x^n a^n }{n!} ,$$

Ahora sólo tenga en cuenta que $x<\pi$.

$$f(x) = \frac{x^n a^n }{n!} (1-x/\pi)^n \leq \frac{\pi^n a^n }{n!} ,$$

---

En relación con la conclusión :

Niven mostró tres propiedades de la integral que son incompatibles.

1) La integral es positivo para todos los $n$. 2) La integral es un número entero para todos los $n$. 3) La integral puede hacerse arbitrariamente pequeña para suficientemente grande $n$.

El menor entero positivo es $1$. Conclusión (3) nos dice que hay una buena cantidad de $n$ al hacer la integral menor que $1$. Por lo tanto, la conclusión (2) y la conclusión (3) se contradicen unas a otras.

Esta contradicción es una consecuencia de la suposición de que $\pi$ es racional, por lo que llegamos a la conclusión de que $\pi$ no es racional.