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Criterios para la suavidad de la pointwise límite de una secuencia de funciones

Deje $\#$ denota la cardinalidad y el fix $p\in[1,\infty]$.
Deje $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ser una secuencia de funciones de $[0,1]$ $\mathbb{R}$con las propiedades

  1. $f_n\in C^{n-1}([0,1])$
  2. $f^{(n)}_n$ es continua en a $[0,1]\setminus A_n$ donde $\#A_n<\infty$ pero $ \underset{n\to\infty}{\lim}\#A_n=\infty$
  3. $\underset{n\to\infty}{\lim}||f_n^{(m)}||_p$ existe y es finito $\forall m\in\mathbb{N}_0$
  4. $f_n$ convergen pointwise a una función $f$

Para qué valores de a $p$ hacer estas implican $f\in C^\infty([0,1])$?
Para los $p$ donde un contraejemplo existe, cómo construir un ejemplo y/o lo que podría ser una buena condición adicional para evitar su existencia?

Intento con $p=\infty$:
Suponga que $f^{(0)}$ no es continua. Entonces existe $x\in(0,1)$ $\varepsilon>0$ tal que sin embargo pequeño $\delta>0$ existe $x_0$ satisfacción $0<|x-x_0|<\delta$ tal que $|f(x_0)-f(x)|>\varepsilon$. Por otra parte $0<|(x_0(\delta)-(x+\delta))/2|<\delta$, y si $p=\infty$ 3) implica $\infty>\underset{n\to\infty}{\lim}|f_n^{(1)}(x)|$. Una contradicción de la siguiente manera:

$$\infty>\underset{n\to\infty}{\lim}|3f_n^{(1)}(x)| =\underset{n\to\infty}{\lim}\left(\underset{\delta\to 0^+}{\lim}\left|\frac{f_n(x+\delta)-f_n(x)}{\delta}\right|+2\underset{\delta\to 0^+}{\lim}\left|\frac{f_n(x_0(\delta))-f_n(x+\delta)}{x_0(\delta)-(x+\delta)}\right|\right) \hspace{6.4 cm}\text{ }\\\hspace{4cm} >\underset{n\to\infty}{\lim}\left(\underset{\delta\to 0^+}{\lim}\left|\frac{f_n(x+\delta)-f_n(x)}{\delta}\right|+\underset{\delta\to 0^+}{\limsup}\left|\frac{f_n(x_0(\delta))-f_n(x+\delta)}{\delta}\right|\right) \\\hspace{2.15 cm} >\underset{n\to\infty}{\lim}\underset{\delta\a 0^+}{\limsup}\left|\frac{f_n(x+\delta)-f_n(x)}{\delta}+\frac{f_n(x_0(\delta))-f_n(x+\delta)}{\delta}\right| \\\hspace{2cm} =\underset{n\to\infty}{\lim}\underset{\delta\to 0^+}{\limsup}\left|\frac{f_n(x_0(\delta))-f_n(x)}{\delta}\right| \hspace{4.6 cm}\text{ }\\ \desbordado{\text{???}}{=}\underset{\delta\to 0^+}{\limsup}\underset{n\to\infty}{\lim}\left|\frac{f_n(x_0(\delta))-f_n(x)}{\delta}\right| \hspace{2.6 cm}\text{ }\\ =\underset{\delta\to 0^+}{\limsup}\frac{|f(x_0(\delta))-f(x)|}{\delta} >\underset{\delta\to 0^+}{\limsup}\frac{\varepsilon}{\delta}=\infty \hspace{0.5 cm}\text{ }$$

por lo $f^{(0)}$ es continua y la sustitución de $f$ $f_n$ por sus derivados suavidad de la siguiente manera por inducción. A menos que la parte con los "???" es incorrecto?!

1voto

zhw. Puntos 16255

En realidad un mayor resultado se tiene:

Thm: Supongamos $f_n\in C^{n-1}([0,1]), n =1,2,\dots,$ $f_n \to f$ pointwise en $[0,1].$ Supongamos, además, que para cada una de las $m\in \{0,1,\dots \},$

$$\sup_{n>m+1} \|D^m f_n\|_1 < \infty.$$

A continuación, $f\in C^{\infty}([0,1]).$

Lema: Supongamos $g_n\in C^{2}([0,1]), n =1,2,\dots$ $\|g_n\|_1,\|g_n'\|_1,\|g_n''\|_1$ son uniformemente acotada. Entonces existe una larga $g_{n_k}$ que converge uniformemente en $[0,1].$

Para ver cómo el lema implica el teorema, nos mostrará $f\in C^1.$ Considerar la secuencia de $g_n = f_{n+3}', n=1,2,\dots$ a partir De la hipótesis del teorema, $g_n$ satisface las hipótesis del lema. Por lo tanto existe una larga $g_{n_k}$ que converge uniformemente a algunos continua $g.$

Así tenemos los siguientes: $f_{n_k+3} \to f$ pointwise, y $f_{n_k+3}'\to g$ uniformemente. Por el resultado estándar de convergencia uniforme y la diferenciación, $f$ es diferenciable en a $[0,1]$ $f'= g.$ Desde $g$ es continua, $f\in C^1.$

Ahora esperamos a $f_{n_k+3}''.$ Al final de esta secuencia satisface las hipótesis del lema. Así, algunos subsequence $f_{n_{k_j}+3}''$ converge uniformemente a algunos continua $h.$ exactamente De la misma manera como en el anterior, hemos $f'' = g' =h$ $f\in C^2.$

Claramente este proceso puede ser continuo, lo que demuestra $f\in C^\infty.$

La prueba del lema: Supongamos $\|g_n\|_1,\|g_n'\|_1,\|g_n''\|_1$ son todos acotada arriba por $C.$ Por Fatou del lexema, $\int_0^1 \liminf |g_n'| \le C.$$\liminf |g_n'| < \infty$.e. Por lo tanto existe $b\in [0,1]$ tal que para algunos subsequence $n_k,$

$$\sup_k |g_{n_k}'(b)|=M_b < \infty$$

para todos los $k.$ Va a una más larga $g_{n_{k_j}},$ también tendremos $a\in [0,1]$ tal que $\sup_k |g_{n_{k_j}}(a)|=M_a < \infty.$

A partir de la FTC se sigue que

$$|g_{n_{k_j}}'(x)| \le |g_{n_{k_j}}'(x)-g_{n_{k_j}}'(b)| + |g_{n_{k_j}}'(b)| \le \int_0^1 |g_{n_{k_j}}''| + M_b \le C + M_b.$$

Por lo tanto $g_{n_{k_j}}'$ es uniformemente acotada en $[0,1].$ MW, $g_{n_{k_j}}$ es uniformemente de Lipschitz en $[0,1].$, con Lo que la secuencia de $g_{n_{k_j}}$ es equicontinuous en $[0,1].$ Desde $g_{n_{k_j}}(a)$ es acotado, Arzela-Ascoli implica que hay una larga de $g_{n_{k_j}}$ que converge uniformemente, lo que da la lema.

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