Deje $\#$ denota la cardinalidad y el fix $p\in[1,\infty]$.
Deje $(f_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ser una secuencia de funciones de $[0,1]$ $\mathbb{R}$con las propiedades
- $f_n\in C^{n-1}([0,1])$
- $f^{(n)}_n$ es continua en a $[0,1]\setminus A_n$ donde $\#A_n<\infty$ pero $ \underset{n\to\infty}{\lim}\#A_n=\infty$
- $\underset{n\to\infty}{\lim}||f_n^{(m)}||_p$ existe y es finito $\forall m\in\mathbb{N}_0$
- $f_n$ convergen pointwise a una función $f$
Para qué valores de a $p$ hacer estas implican $f\in C^\infty([0,1])$?
Para los $p$ donde un contraejemplo existe, cómo construir un ejemplo y/o lo que podría ser una buena condición adicional para evitar su existencia?
Intento con $p=\infty$:
Suponga que $f^{(0)}$ no es continua. Entonces existe $x\in(0,1)$ $\varepsilon>0$ tal que sin embargo pequeño $\delta>0$ existe $x_0$ satisfacción $0<|x-x_0|<\delta$ tal que $|f(x_0)-f(x)|>\varepsilon$. Por otra parte $0<|(x_0(\delta)-(x+\delta))/2|<\delta$, y
si $p=\infty$ 3) implica $\infty>\underset{n\to\infty}{\lim}|f_n^{(1)}(x)|$. Una contradicción de la siguiente manera:
$$\infty>\underset{n\to\infty}{\lim}|3f_n^{(1)}(x)| =\underset{n\to\infty}{\lim}\left(\underset{\delta\to 0^+}{\lim}\left|\frac{f_n(x+\delta)-f_n(x)}{\delta}\right|+2\underset{\delta\to 0^+}{\lim}\left|\frac{f_n(x_0(\delta))-f_n(x+\delta)}{x_0(\delta)-(x+\delta)}\right|\right) \hspace{6.4 cm}\text{ }\\\hspace{4cm} >\underset{n\to\infty}{\lim}\left(\underset{\delta\to 0^+}{\lim}\left|\frac{f_n(x+\delta)-f_n(x)}{\delta}\right|+\underset{\delta\to 0^+}{\limsup}\left|\frac{f_n(x_0(\delta))-f_n(x+\delta)}{\delta}\right|\right) \\\hspace{2.15 cm} >\underset{n\to\infty}{\lim}\underset{\delta\a 0^+}{\limsup}\left|\frac{f_n(x+\delta)-f_n(x)}{\delta}+\frac{f_n(x_0(\delta))-f_n(x+\delta)}{\delta}\right| \\\hspace{2cm} =\underset{n\to\infty}{\lim}\underset{\delta\to 0^+}{\limsup}\left|\frac{f_n(x_0(\delta))-f_n(x)}{\delta}\right| \hspace{4.6 cm}\text{ }\\ \desbordado{\text{???}}{=}\underset{\delta\to 0^+}{\limsup}\underset{n\to\infty}{\lim}\left|\frac{f_n(x_0(\delta))-f_n(x)}{\delta}\right| \hspace{2.6 cm}\text{ }\\ =\underset{\delta\to 0^+}{\limsup}\frac{|f(x_0(\delta))-f(x)|}{\delta} >\underset{\delta\to 0^+}{\limsup}\frac{\varepsilon}{\delta}=\infty \hspace{0.5 cm}\text{ }$$
por lo $f^{(0)}$ es continua y la sustitución de $f$ $f_n$ por sus derivados suavidad de la siguiente manera por inducción. A menos que la parte con los "???" es incorrecto?!