¿Por qué la gente dice que Hamilton principio es que todos los de la mecánica clásica? Cómo conseguir la tercera ley de Newton?

Question

Desde el principio de la menor (o fija) de la acción, tenemos que un sistema clásico va a evolucionar de acuerdo a Euler-Lagrange las ecuaciones:

$$\frac{d}{dt}\bigg (\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\bigg) = \frac{\partial L}{\partial q_i} .$$

Muchas veces he leído y escuchado de los físicos que esta ecuación diferencial encapsula todas las de la mecánica clásica. Una gloriosa de la reforma de las leyes de Newton que son más generales, compacto y mucho más eficiente.

Entiendo que si el enchufe en el valor de la Lagrangiana, de volver a obtener la segunda ley de Newton. Pero la mecánica Newtoniana se basa en 3 leyes, ¿no es así? La ley de la inercia es en especial una consecuencia de la segunda ley, por lo que no es necesario, pero, ¿qué acerca de la tercera ley, a saber, que las fuerzas de actos en pares; la acción es igual a menos la reacción?

Mi pregunta es, ¿podemos obtener la tercera ley de Newton a partir de esta forma de Euler-Lagrange ecuación? Entiendo que la tercera ley de Newton para un aislado de $2$-sistema del cuerpo sigue por el total de la conservación del momento, pero, ¿qué acerca de un sistema con $N\geq 3$ de las partículas? Si no, ¿por qué la gente decir que todos los de la mecánica clásica en una cáscara de nuez?

Answer 1

La tercera ley de Newton es que para cada acción hay una reacción igual y opuesta. Esta es una declaración de impulso de la conversación.

En el de Euler-Lagrange ecuación, el último término $$ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_i} $$ es una generalización de la fuerza. Del mismo modo, el impulso generalizado es $$ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot q_i}. $$ Si la generalización de la fuerza es cero, entonces $$ \frac{d}{dt} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot q_i} = 0 $$ Matemáticamente, esto significa que la generalización de la velocidad es constante en el tiempo, es decir, no se conserva, que es la tercera ley de Newton.

No necesitamos ni el Lagrangiano para resumir todas las leyes de Newton. Como usted probablemente sabe, la segunda ley de Newton $F=ma$ es un caso especial de $F = \frac{dp}{dt}$. Esto representa en general todos los de las leyes de Newton:

• 1ª Ley de Newton: un objeto va a persistir en un estado de movimiento uniforme a menos que sea obligado por una fuerza externa: Si $F = 0$,$\frac{dp}{dt} = 0$, y por lo tanto $p$ es constante.
• 2ª Ley de Newton - $F = ma$: si m es constante, entonces $$ F = \frac{dp}{dt} = \frac{d(mv)}{dt} = m\frac{dv}{dt} = ma.$$
• 3ª ley de Newton - véase más abajo la derivación.

Así que, en general, de Newton la tercera de las leyes son un poco redundante en el sentido de que pueden ser descritos por $$ \vec F = \frac{d\vec p}{dt}. $$

(o por el de Euler-Lagrange ecuación, como se discute.)

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Edit: Derivación de la N3L con la conservación del momento

Considere un sistema con ímpetu total $\vec p_{\rm tot}$ y dos partículas con ímpetus $\vec p_1$ $\vec p_2$ tal que $\vec p_{\rm tot} = \vec p_1 + \vec p_2$. Si el sistema es cerrado, entonces el momento total se conserva, por lo que $$ \frac{d\vec p_{\rm tot}}{dt} = 0.$$ La diferenciación de ambos lados, se obtiene $$ \frac{d}{dt}(\vec p_{\rm tot}) = \frac{d}{dt}(\vec p_1 + \vec p_2)$$ $$ 0 = \frac{d\vec p_1}{dt} + \frac{d\vec p_2}{dt} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$$ $$ \vec F_1 = -\vec F_2 $$

Answer 2

Aquí es un lugar diferente en la misma pregunta por Lanczos, que escribe en su clásico "LOS PRINCIPIOS VARIACIONALES DE la MECÁNICA" (ver: https://archive.org/details/VariationalPrinciplesOfMechanicsLanczos ) en la página 77", que

Los científicos que afirman que la mecánica analítica es nada mas que un matemáticamente diferente formulación de las leyes de Newton debe asumir que Postular Una es deducible a partir de las leyes del movimiento de Newton. El autor es incapaz de ver cómo puede hacerse esto. Sin duda la tercera ley del movimiento, la "acción es igual a la reacción," no es lo suficientemente amplia como para reemplazar Postulado A.

Aquí Postular Una se define en la página anterior 76 como:

Desde el principio de equilibrio requiere que "impresionado la fuerza más fuerza resultante de la reacción es igual a cero" vemos que el trabajo virtual de la impresionado fuerzas puede ser reemplazado por la negativa de trabajo virtual de las fuerzas de la reacción. Por lo tanto el principio de trabajo virtual puede ser formulado en los siguientes forma, que vamos a llamar a Postular Un:

"El trabajo virtual de las fuerzas de la reacción es siempre cero para cualquier desplazamiento virtual que está en armonía con la cinemática de las restricciones."

Este postulado no se limita a la esfera de la estática. Esto se aplica igualmente a la dinámica, cuando el principio de trabajo virtual es adecuadamente generalizada por medio de d'Alembert del principio. Ya que todos los fundamentales principios variacionales de la mecánica, los principios de Euler, Lagrange, Jacobi, Hamilton, pero son alternativas formulaciones matemáticas de d'Alembert principio, Postular Una realidad es el único postulado de la mecánica analítica, y por lo tanto es de fundamental importancia.