Deje $A$ ser positivo-definida la matriz y deje $B$ ser alguna otra matriz simétrica. Considere la matriz $$ C=a+\varepsilon B. $$ para algunos $\varepsilon>0$. Es cierto que para $\varepsilon$ lo suficientemente pequeño como $C$ también es positiva definida?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Positiva definida significa que $\langle v, Av \rangle > 0$ para todos los vectores distintos de cero $v$; en realidad, es suficiente para comprobar esta condición para la unidad de vectores. Tenemos
$$\langle v, Cv \rangle = \langle v, Av \rangle + \epsilon \langle v, Bv \rangle.$$
Ahora, por la compacidad de la unidad de la esfera, $\langle v, Av \rangle$ toma en un mínimo valor distinto de cero $m$ en la unidad de vectores (el menor autovalor de a $A$, a pesar de que no lo necesitan), y $| \langle v, Bv \rangle |$ toma en un máximo valor distinto de cero $M$ en la unidad de vectores (el mayor autovalor de a $B$ en valor absoluto).
Así que podemos aprovechar $\epsilon < \frac{m}{M}$, lo que da
$$\langle v, Cv \rangle \ge m - \epsilon M > 0$$
para todos los vectores unitarios $v$. Por lo $C$ es positiva definida como desee.
kimchi lover
Puntos
361
Si por "positiva definida" que significa "estrictamente positiva definida", la respuesta es "sí". El conjunto de estrictamente positiva definida matrices es un conjunto abierto en el espacio de matrices simétricas.
Por la siguiente razón. La positiva definida matrices son las que satisfacer un determinado conjunto finito de determinental inequalites (el director de menor importancia de los determinantes deben ser estrictamente positivo), cada uno de los cuales se corta un conjunto abierto en el espacio de las matrices. Alternativamente, a partir de primeros principios, vamos a $X$ ser la unidad cerrada de la esfera en el espacio vectorial, vamos a $Y$ ser el simétrico de las matrices. La función de $(v,A)\mapsto \|Av\|$ es continuo, de modo que el conjunto de $S=\{(v,A): \|Av\|\le0\}\subset X\times Y$ es cerrado. Desde $X$ es compacto, el mapa de $\pi:(v,A)\mapsto A$ es un cerrado mapa, por lo $\pi(S)$ es cerrado en $Y$, por lo que el complemento de $\pi(S)$ está abierto en $Y$. Pero que el complemento de a es el conjunto de todos los $A$ que $\|Av\|>0$ todos los $v\in X$, es decir, el conjunto de todos (estrictamente) positiva definida matrices.
Rodrigo de Azevedo
Puntos
608
Para complementar Qiaochu la respuesta, tenemos
$$\rm v^\top C \, v = v^\top A \, v + \varepsilon \, v^\top B \, v$$
donde$\| \rm v \|_2 = 1$$\varepsilon > 0$. Tenga en cuenta que
$$\{ \rm v^\top A \, v : \| v \|_2 = 1 \} = [ \lambda_{\min} (\mathrm A), \lambda_{\max} (\mathrm A) ]$$
$$\{ \rm v^\top B \, v : \| v \|_2 = 1 \} = [ \lambda_{\min} (\mathrm B), \lambda_{\max} (\mathrm B) ]$$
y, por lo tanto,
$$\{ \rm v^\top C \, v : \| v \|_2 = 1 \} = \left[ \color{blue}{\lambda_{\min} (\mathrm A) + \varepsilon \, \lambda_{\min} (\mathrm B)}, \lambda_{\max} (\mathrm A) + \varepsilon \, \lambda_{\max} (\mathrm B) \right]$$
Sabemos que $\rm A \succ 0$, es decir, $\lambda_{\min} (\mathrm A) > 0$. Si $\rm B$ es positivo semidefinite, a continuación,$\lambda_{\min} (\mathrm A) + \varepsilon \, \lambda_{\min} (\mathrm B) > 0$, es decir, la matriz de $\rm C$ es positiva definida para todos los valores de $\varepsilon > 0$. Después de todo, la cónica combinación de positivos semidefinite matrices también es positiva semidefinite. Si $\rm B$ es no positivo semidefinite, entonces
$$\lambda_{\min} (\mathrm A) + \varepsilon \, \lambda_{\min} (\mathrm B) = \lambda_{\min} (\mathrm A) - \varepsilon \, |\lambda_{\min} (\mathrm B)| > 0$$
los rendimientos de la siguiente cota superior en $\varepsilon$
$$\varepsilon < \color{blue}{\frac{\lambda_{\min} (\mathrm A)}{|\lambda_{\min} (\mathrm B)|}}$$
