En el caso especial de la iluminación problema donde uno solo se utiliza un rayo de luz (en lugar de iluminar en cada dirección), es posible iluminar un rectángulo en todas partes densamente? ¿Esta presionado para casi cualquier ángulo y posición de partida?
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rogeriopvl
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Creo que usted debe investigar la "matemática de billar" problema un poco, como parece para abordar problemas similares como el que usted pregunte:
Un ~200 páginas de su libro sobre el problema: http://www.math.psu.edu/tabachni/Books/billiardsgeometry.pdf
La única manera de que un rayo no para iluminar el rectángulo densamente es si finalmente llega a su punto de partida exactamente y, a continuación, continúa de forma cíclica.
Esto es un poco más fácil a ver si en lugar de un rectángulo con reflejado formas que tenemos de imaginar un rectángulo con las paredes opuestas han sido identificados para formar un plano de toro-que corresponde a la adición del rectángulo original de su reflexión acerca de, digamos la parte superior y los lados a la derecha. El "plano de toro" es un modelo cuádruple portada de el espejo de rectángulo, de modo que si el toro, así que si el toro está iluminado densamente, entonces también lo es el espejo de la del rectángulo.
Ahora considere la distancia (a lo largo de $S^1$ en algunos preferido dirección) entre dos sucesivos cruces del borde horizontal. Si que es un racional múltiples $p/q$ de la anchura de la habitación, a continuación, después de $q$ cruces el rayo llegará a su punto de partida exactamente. Sin embargo, si se trata de un irracional múltiples, a continuación, el borde horizontal será golpeado en zonas densamente muchos lugares (no puede golpear nunca el mismo lugar en el borde, así que por compacidad habrá dos puntos arbitrariamente cercanos unos de otros, separados por decir $k$ bobinados y, a continuación, los éxitos en cada una de las $kn$ devanados ($n\in\mathbb N$) en lo sucesivo se le eventualmente cubrir el borde con ese pequeño espacio). Una vez que vemos que el eje horizontal es golpeado densamente, las piezas de los rayos que emergen de esos densos puntos se iluminará el mismo nivel de la plana toro igualmente densamente.
Ahora, sólo hay countably muchos ángulos que lograr un cíclica ray. (Imagina a la red infinita del rectángulo, con las paredes cubiertas de espejos, se ve como desde el interior-con el fin de obtener un cíclica ray tendrás que apuntar para uno de los countably muchas imágenes de los puntos de partida). Por lo tanto, casi todos los de la dirección inicial de rayos podría tomar conducirá a la densa iluminación.
rogeriopvl
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En el caso del rectángulo creo que una importante pregunta sería ¿qué sucede en las esquinas? La trayectoria de la línea no puede ser perpendicular a la pared, ya que podría resultar en un recorrido cíclico. Por otro lado, si la línea no es perpendicular, entonces lo que debería suceder a la dirección en el rebote? La única opción razonable sería que el incidente y se sale de las líneas son paralelas, creando así un "extremo" en la trayectoria. Como las dos líneas deben ser idénticos, la trayectoria a partir de la esquina sería la versión invertida de la original (que sigue aún después de llegar al punto de partida original). Como un rincón de rebote crea un extremo, y de los incidentes y de salida de las trayectorias a partir de este punto son simétricas la trayectoria sólo puede tener 2 puntos, por lo que no puede cubrir todas las 4 esquinas del rectángulo. Por esta razón, el dominio, incluyendo todos los 4 puntos de esquina no puede ser uniformemente iluminada por un rayo.
