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Secuencia especial de Fibonacci

Sea $\{F_n\}, n\in \mathbb{N}$ sea la sucesión de números de Fibonacci tal que $F_1=1$ , $F_2=1$ y $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ $\forall n\geq2$ .

Definir una nueva secuencia $\{S_n\}$ tal que $S_n=F_n+1$ $\forall n\in \mathbb{N}$ .

Ahora la pregunta es: Para cada primo $p$ ¿existe un $N\in \mathbb{N}$ tal que $p|S_N$ ?

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user299698 Puntos 96

Pista. La respuesta es sí. Demuestre que para cualquier primo $p\not=5$ , $$p\;\mbox{divides}\;S_{p^2-3}=F_{p^2-3}+1.$$ Véase, por ejemplo, la respuesta de Jack D'Aurizio aquí: Problema de la secuencia de Fibonacci. Demostrar que hay infinitos números primos tales que $p$ divide $F_{p-1}$

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Bien $S_{-2}=0$ pero $-2\notin\Bbb N$ . No importa.

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¿qué quiere decir con $S_-2$ ??? $-2$ en realidad no es un número natural, creo que he entendido lo que querías decir pero explícame más

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Dije que $-2$ no era un número natural, ¿no? La secuencia de Fibonacci se extiende naturalmente a argumentos negativos, ¿no?

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Hmm, y la serie de Fibonacci es periódica (mod $n$ ) para cualquier $n$ - también la serie de Fibonacci naturalmente extendida. Creo que estas dos observaciones juntas resuelven la cuestión.

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