La resolución de $\lim \limits _{x \to \infty} (\sqrt[n]{(x+a_1) (x+a_2) \dots (x+a_n)}-x)$

Question

$$\lim \limits _{x \to \infty}\bigg(\sqrt[n]{(x+a_1) (x+a_2) \dots (x+a_n)}-x\bigg)$$ Podemos ver que el límite es de tipo $\infty-\infty$. No veo nada de lo que yo podía hacer aquí. Sólo puedo ver la media geométrica, que es la $n$-ésimo término raíz. Puedo hacer nada con ella? Algunos consejos sobre como resolver esto?

Answer 1

Usted puede escribir, como $x \to \infty$, $$ \begin{align} (x+a_1)\cdot(x+a_2)\cdot...\cdot(x+a_n)&=x^n+(a_1+a_2+\cdots+a_n)\cdot x^{n-1}+O(x^{n-2})\\\\ &=x^n\left(1+\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{x}+O\left(\frac1{x^2}\right)\right)\\\\ \end{align} $$ dando $$ \begin{align} \sqrt[n]{(x+a_1)\cdot(x+a_2)\cdot...\cdot(x+a_n)}&=x\left(1+\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{x}+O\left(\frac1{x^2}\right)\right)^{1/n}\\\\ &=x+\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}+O\left(\frac1{x}\right)\end{align} $$ y

$$ \lim_{x \to \infty}\left(\sqrt[n]{(x+a_1)\cdot(x+a_2)\cdot...\cdot(x+a_n)}-x\right)=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}. $$

Answer 2

Es más complicado para escribir en LaTeX, que resolver. Recuerde que

$$A-B = \frac {A^n - B^n} {A^{n-1} + A^{n-2} B + \dots + A B^{n-2} + B^{n-1}} .$$

La elección de $A = \sqrt[n]{(x+a_1) (x+a_2) \dots (x+a_n)}$$B = \sqrt[n] {x^n}$, tenga en cuenta que la potencia más grande de $x$$A^n - B^n$$x^{n-1}$, y se multiplica por el coeficiente de $a_1 + \dots + a_n$.

Del mismo modo, en busca de la parte dominante de $x$ en el denominador, escribir

$$A^{n-k} \cdot B^{k-1} = [ (x+a_1) (x+a_2) \dots (x+a_n) ] ^{\frac {n-k} n} \cdot (x^n) ^{\frac {k-1} n} = \\ (x^n) ^{\frac {n-k} n} \left[ \left( 1 + \frac {a_1} x \right) \dots \left( 1 + \frac {a_n} x \right)\right] ^{\frac {n-k} n} \cdot (x^n) ^{\frac {k-1} n} = x^{n-1} \left[ \left( 1 + \frac {a_1} x \right) \dots \left( 1 + \frac {a_n} x \right)\right] ^{\frac {n-k} n} .$$

Tenga en cuenta que la parte entre corchetes tiende a $1$ al $x \to \infty$ (debido a $n$, el número de factores, se mantiene fijo y cada factor tiende a $0$), por lo $\dfrac {A^{n-k} \cdot B^{k-1}} {x^{n-1}} \to 1$ (i.e $A^{n-k} \cdot B^{k-1}$ se comporta asintóticamente como $x^{n-1}$ al $x \to \infty$). Hay $n$ tales términos en el denominador, por lo $\dfrac {n x^{n-1}} {\text{denominator}} \to 1$.

Poner todo junto se puede conseguir que la

$$\sqrt[n]{(x+a_1) (x+a_2) \dots (x+a_n)} - \sqrt[n] {x^n} = A-B = \\ \frac {(a_1 + \dots a_n) x^{n-1} + \text{smaller powers of} \ x} {n x^{n-1}} \frac {n x^{n-1}} {\text{denominator}} \to \frac {a_1 + \dots + a_n} n .$$