Curva de llenado de espacio con localidad de distancia

Question

¿Existe una curva de llenado de espacio $C$ que tiene la propiedad de que, si $C$ pasa a través de $p_1=(x_1,y_1)$ a distancia $d_1$ a lo largo de la curva, y a través de $p_2$ en $d_2$ , entonces si $|p_1 - p_2| \le a$ entonces $|d_1 - d_2| \le b$ para algunas constantes $a$ y $b$ ? En otras palabras, dos puntos cualesquiera del plano dentro de la distancia $a$ están separados por un máximo de $b$ a lo largo de $C$ . Llama a esta propiedad distancia localidad . Así que estoy preguntando si existe un mapeo de la curva $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}^2$ con la localidad de la distancia.

Aunque dudo que la respuesta sea diferente, permítame también hacer la misma pregunta para $\mathbb{Q}^2$ , y para $\mathbb{Z}^2$ .

Tengo poca experiencia con las propiedades de las curvas de llenado de espacio conocidas. Aquellos mejor instruidos en este tema probablemente puedan responder a estas preguntas con facilidad. Gracias.

Adenda. Me he fijado en un artículo que se acaba de publicar hoy y que se centra en las "propiedades de localidad" de las curvas que llenan el espacio en 3D: "Un inventario de curvas tridimensionales de llenado del espacio de Hilbert". arXiv:1109.2323v1 [cs.CG]. El autor explora varias medidas de medidas de localidad que se han considerado en la literatura, y cita una gran cantidad de referencias.

Answer 1

El primer problema es que la "distancia a lo largo de la curva" no tiene sentido para una curva que llena el espacio -- la definición habitual de distancia para las curvas suaves (límite de los polígonos de aproximación) lleva a que la distancia entre dos puntos generales de la curva sea infinita.

Si se sustituye "distancia a lo largo de la curva" por "diferencia de parámetros", entonces puedo hacerlo por $[0,\infty)\to\mathbb R^2$ pero conseguir un dominio doblemente infinito parece imposible.

Posible para $[0,\infty)\to \mathbb R^2$ : Divide el plano en cuadrados unitarios y numéralos en espiral saliendo del origen:

12 11 10  9  .
13  2  1  8  .
14  3  0  7  .
15  4  5  6 21
16 17 18 19 20

La construcción clásica de la curva de Peano da lugar a una curva que llena el espacio $[0,1]\to[0,1]^2$ . Poner un número contable de estos juntos en $f:\mathbb [0,\infty)\to\mathbb R^2$ , de tal manera que $f([n,n+1/2])$ llena el cuadrado numerado $n$ en el diagrama, y $f([n+1/2,n+1])$ es una simple conexión entre el punto final de una curva de Peano y el principio de la siguiente.

Este $f$ llena el espacio pero no satisface la localidad de la distancia. Pero $g(t) = f(t^3)$ hace. El crecimiento cúbico garantiza que cada bobina de la espiral ocupe una cantidad limitada de $t$ por lo que la distancia paramétrica entre cada cuadrado y cualquiera de sus 8 vecinos está globalmente acotada.

Imposible para $\mathbb R\to \mathbb R^2$ : Supongamos que $f:\mathbb R\to\mathbb R^2$ llena el espacio y satisface su criterio de localización de la distancia. Con una escala y una traslación adecuadas, podemos suponer $f(0)=(0,0)$ y $a=b=1$ . Podemos entonces demostrar por inducción en $n$ que $|f(t)|<n \Rightarrow |t|<n$ para todos los enteros $n$ y por lo tanto $|f(t)|>|t|-1$ en general. Entonces, dejemos que $D=1+\max\limits_{|t|\le 1}|f(t)|$ y considerar los dos conjuntos $$ P = \{ f(t) \mid t > 1 \land |f(t)| > D \} $$ $$ M = \{ f(t) \mid t < -1 \land |f(t)| > D \} $$ $P$ y $M$ son ambos no vacíos -- uno contiene $f(D+1)$ El otro $f(-(D+1))$ -- y su unión es el conjunto conectado $\{x\in \mathbb R^2\mid |x|\ge D\}$ . Por lo tanto, sus cierres deben intersecarse. Pero cerca de un punto donde los cierres se encuentran, hay debe sea $t$ s que violan la localidad de la distancia.

Answer 2

Dejemos que $f:{\bf Z}\to{\bf Z}^2$ ser uno-uno y sobre. Supongamos que para todos los pares de puntos adyacentes de la red $p$ y $q$ existen enteros $b$ , $m$ y $n$ tal que $f(m)=p$ , $f(n)=q$ y $|m-n|\le b$ . Supongamos sin pérdida de generalidad que $f(0)=(0,0)$ . Para cualquier número entero positivo $d$ , si $p$ es un punto de la red $d$ pasos desde el origen, entonces debemos tener $f(n)=p$ para algunos $n$ con $|n|\le bd$ . Pero el número de puntos de la red $d$ pasos desde el origen crece como el cuadrado de $d$ mientras que los números enteros $n$ con $|n|\le bd$ crece linealmente con $d$ contradicción. Así que no hay un mapa que satisfaga la "localidad de la distancia", incluso para la distancia $a=1$ .