Pregunta sobre Lee la Introducción a Topológico Colectores

Question

A partir de la página 2 en Lee la Introducción a topológico colectores:

Pregunta 1: ¿Qué significa "describir de forma paramétrica" decir exactamente? Es un sinónimo de "coordenadas global gráfico"? (que es, un atlas que consta de sólo uno elemento, $(M,f)$ donde $M$ es la totalidad del colector y $f$ es un homeomorphism $M \to \mathbb R^n$?)

Pregunta 2: ¿me Pueden dar un ejemplo de una $1$-colector que no admite un global de coordenadas del gráfico? (es decir, de un no-orientable curva?) (Es la respuesta que no puede ser un colector desde la no-orientable significa que podemos incrustar una banda de Moebius en la que no se puede hacer en la dimensión $1$?)

Pregunta 3: Es esta definición compatible con este uno? ¿Cuál es el dominio de el mapa se menciona en la definición de Wolfram Alpha? Cualquieruno el espacio tridimensional? Lo dudo, ya que también desee $[0,1]$ a ser el dominio a veces. Es este Wolfram entrada incorrecta?

Gracias por la ayuda!

Answer 1

Es un hecho que cada 1 dimensiones del Colector es un círculo o un pedazo de línea. Por ejemplo, en el buen caso, usted puede tomar un vistazo en el apéndice del libro de Milnor - Topología de la diferenciable punto de vista.

De esto podemos concluir que cada 1-dimensional puede estar cubierto por una char (en el caso de línea) y dos gráficos (en el círculo de los casos). No sé si el término "describir de forma paramétrica" es sinónimo de "coordenadas global gráfico", pero no hay ningún problema en interpretar como este, en el caso de la línea. Otra interpretación es sólo que el autor nos muestra cómo una parametrización de una 1-variedad parece. Probablemente el autor va a contestarle la pregunta mejor que yo y esto es posible porque hace participar en este foro.

Edit: he cambiado mi anwer un litlle poco, porque Kevin Carlson señaló un error. (El círculo no tiene un solo gráfico).

Answer 2

Pregunta 1: Una parametrización no es tan fuerte como un(n inversa de una) de coordenadas global gráfico. Por ejemplo, la curva en la línea dada por $|t|, -1< t < 1$ no inducir a un gráfico de coordenadas, ya que no es $1$a-$1$. La imagen de esta curva, sin embargo, admitir un global de coordenadas del gráfico. El círculo, por otro lado, no, aunque puede ser parametrizada por $(\cos t,\sin t)$$0\leq t < 2\pi$.

Pregunta 2: La clasificación de los suaves $1$-colectores discutido ya se extiende a topológico $1$-colectores. Específicamente, la conectada $1$-dimensiones topológicas colectores, hasta homeomorphism:

• El círculo de $S^1$
• $\mathbb{R}$ o $(0,1)$
• La media de intervalo de abrir, por ejemplo, $[0,1)$
• El intervalo cerrado, por ejemplo, $[0,1]$

No sé de un detallado, publicado prueba de esta clasificación, pero si usted tiene acceso a JSTOR, he aquí un esquema con grandes consejos.

Pregunta 3: no creo que Lee significa equiparar las curvas con $1$-colectores. Una definición común es la siguiente:

Una curva es un mapa continuo $f:I\to X$ donde $I\subset \mathbb{R}$ es un intervalo y $X$ es cualquier espacio topológico.

La diferencia de $1$-colectores es que las curvas de auto-cruzan, por ejemplo, como el cuspidal cúbicos a continuación. Este es un colector de todas partes, pero en el origen, pero no es homeomórficos a la cruz.

También hay curvas en las que no se $1$-colectores en cualquier lugar. Considerar el espacio de llenado de las curvas de Hilbert y el envío de Peano $[0,1]$ a $[0,1]^2$: las imágenes de estos mapas se da curvas, de acuerdo a la definición anterior, que se $2$-colectores!

El tipo de curva que es un $1$-colector es usualmente llamado arco-la inyectiva imagen de un intervalo.

Wolfram definición es extraño. Ya que definen su contexto, geometría analítica, dudo que significaba el dominio debe ser un arbitrario $1$-dimensiones topológicas del espacio. Que permitiría a las curvas de ser desconectado, también, que normalmente no lo son.