El poliedro convexo es completamente contenida en el cubo con el borde 1 Demostrar que la suma de los cuadrados de la zona de las caras de este poliedro no exceda de 6. Cómo probar que?
Respuesta
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Himanshi
Puntos
11
En primer lugar, afirmo que para cualquier polígono $P$ contenida en algún plano en $3$-espacio, la plaza de la zona de $P$ es igual a la suma de los cuadrados de las áreas de las proyecciones de $P$ en los tres planos de coordenadas. Basta probar esto en el caso de $P$ área $1$. Deje $\langle x,y,z\rangle$ ser un vector normal a $P$. A continuación, las proyecciones de $P$ sobre el $xy$-, $xz$-, y $yz$-aviones tienen áreas, respectivamente, $$ \frac{|z|}{\|\langle x,y,z\rangle\|}, \frac{|y|}{\|\langle x,y,z\rangle\|}, \frac{|x|}{\|\langle x,y,z\rangle\|}. $$ La suma de los cuadrados de estos números es $1$.
Ahora, supongamos que algunos poliedro convexo es contenida en una unidad de cubo con caras paralelas a los planos de coordenadas. Considere la posibilidad de la proyección de las caras de la poliedro en el $xy$-eje. Esto nos da un montón de polígonos contenida en una unidad cuadrada. El área de cada uno de los polígonos es en la mayoría de las $1$, y la suma de sus áreas es en la mayoría de las $2$ (los polígonos se pueden superponer en pares, pero nunca en triples). La suma de los cuadrados de un montón de números no negativos es limitado por el mayor número de veces la suma de los números, de forma que la suma de los cuadrados de las áreas de las proyecciones es en la mayoría de las $2$. El mismo argumento vale para las proyecciones en los otros dos planos de coordenadas. La adición de estos, nos encontramos con que la suma de las caras del poliedro y planos de coordenadas de la plaza de la zona de las proyecciones es en la mayoría de las $6$. La demanda ahora es la suma de los cuadrados de las áreas de las caras de nuestro poliedro es, en la mayoría de los $6$.
