¿Cómo puedo encontrar una función g que da una respuesta concreta cuando están compuestos con f?

Question

Vamos $f(x)=\frac x{x-2}$ . Encontrar una función $y=g(x)$, de modo que $(f\circ g)(x)=4x$.

La solución es $g(x)=\frac{8x}{4x-1}$, pero no sé cómo llegar a esta respuesta. Por favor, que me ayude a encontrar los pasos para resolver este problema.

Answer 1

Si $g(x)=y$ $$4x=f(g(x))=f(y)=\frac{y}{y-2}$$ por lo tanto $4xy-8x=y$, de la que se obtiene $$y=\frac{8x}{4x-1}$$

Por lo tanto,$g(x)=y=\frac{8x}{4x-1}$.

Answer 2

Simplemente escriba $(f\circ g)(x)$, que es $$\dfrac{g(x)}{g(x)-2}.$$ Now solve the equation $$\dfrac{g(x)}{g(x)-2}=4x$$ with respect to the variable $g(x)$.

Answer 3

$$f(x)=\frac { x }{ x-2 } ,y=g(x),(f\circ g)(x)=4x\\ \left( f\circ g \right) (x)=f\left( g\left( x \right) \right) =\frac { g\left( x \right) }{ g\left( x \right)-2 } =4x\Rightarrow \quad g\left( x \right)=4xg\left( x \right)-8x\Rightarrow g\left( x \right)\left( 4x-1 \right) =8x\\ \Rightarrow g\left( x \right)=\frac { 8x }{ 4x-1 } \\ $$

Answer 4

Ok. Sabemos que $f(x)=\frac{x}{x-2}$

también sabemos que si reemplazamos la variable x en f(x) con g(x) (vamos a llamar "G" por simplicidad) debemos obtener 4x como resultado. Vamos a escribir que: $$\frac{G}{G-2}=4x$$ $$G=4x(G-2)$$ $$G=4xG-8x$$ $$G-4xG=-8x$$ $$G(1-4x)=-8x$$ $$G=\frac{-8x}{(1-4x)}$$ $$G=\frac{8x}{4x-1}$$