Ayudar a entender la prueba que demuestre que una función es uniformemente continua en un cierto intervalo (Spivak)

Question

Este pasaje se refiere a la siguiente prueba:

Si $f$ es continua en a$[a,b]$, $f$ es uniformemente continua $[a,b]$.

Para $\epsilon > 0$ digamos que $f$ $\epsilon$- bien en $[a,b]$ si hay algo de $\delta > 0$ tal que, para todos los $y$$z$$[a,b]$,

si $|y-z|<\delta$, $|f(x)-f(z)|<\epsilon$

Considere la posibilidad de cualquier $\epsilon > 0$. Vamos

$A=\{x:a\leq x \leq b$ $f$ $\epsilon$- bien en $[a,x]\}$

Entonces, la prueba demostró que el $A$ tiene al menos un límite superior, $\alpha$ y $\alpha=b$. Aquí está la parte que no entiendo:

... Por lo $f$ es sin duda $\epsilon$-bien en el intervalo de $[\alpha - \delta_0, \alpha + \delta_0]$. Por otro lado, desde la $\alpha$ es la menor cota superior de a $A$, también es claro que la $f$ $\epsilon$- bien en $[a, \alpha- \delta_0]$.

No entiendo cómo se puede concluir que el $f$ $\epsilon$- bien $[a, \alpha- \delta_0]$ tan sólo de saber que $\alpha$ es la menor cota superior de a $A$. ¿Cómo podemos saber que $f$ $\epsilon$- buena para cada número en el intervalo de $a$ hasta e incluyendo la $\alpha-\delta_0$?

Aquí está mi interpretación de la prueba:

Supongamos $a=1$ y el 5 es la menor cota superior de a $A$. Entonces, con solo saber que $f$ $\epsilon$- bien en $[5-\delta_0,5+\delta_0]$ podemos concluir que $f$ $\epsilon$- bien en los intervalos de $[a,2],[a,3]$ todo el camino a $[a, 5-\delta_0]$. Me siento como que me falta algo de la propiedad de la menor cota superior de la que me impide la comprensión de esta prueba.

La prueba también afirma que $f$ $\epsilon$- bien en $[a, b - \delta_0]$ que yo tampoco entiendo, pero supongo que la explicación sería similar a $f$ $\epsilon$- bien en $[a,\alpha-\delta_0]$.

Gracias de antemano por cualquier ayuda que se presta.

Answer 1

Es mejor definir lo menos límite superior en términos claros y sencillos en inglés con la mínima cantidad de simbolismo.

Un número $m$ se dice que al menos el límite superior de un no-vacío subconjunto $A$ de los números reales si ningún miembro de $A$ supera $m$, pero dado cualquier número $m'$ menos que $m$ es superado por al menos uno de los miembros de $A$.

Ahora añadir el contexto de la actual problema de esta definición, $\alpha$ es la menor cota superior de a $$A = \{x \mid a \leq x \leq b \text{ and }f\text{ is }\epsilon\text{-good on }[a, x]\}$$

Considerar el número de $\beta = \alpha - \delta_{0}$. Desde $\delta_{0} > 0$ significa que $\beta < \alpha$ y, por tanto, por la segunda parte de la definición de la menor cota superior de este número $\beta$ debe ser superado por un miembro de $A$. Así pues, tenemos una $y\in A$ tal que $y > \beta$. Desde $y \in A$ significa que $f$ $\epsilon$- bien en $[a, y]$. Ahora $y > \beta$ y por lo tanto es claro que el intervalo de $[a, \beta]$ está totalmente contenida en el intervalo de $[a, y]$. El $\epsilon$-la bondad de $f$ $[a, y]$ implica su $\epsilon$-bondad en cualquier subinterval de $[a, y]$ e lo $f$ $\epsilon$- bien en $[a, \beta] = [a, \alpha - \delta_{0}]$.

También es necesario entender por qué $f$ $\epsilon$- bien en $[\alpha - \delta_{0}, \alpha + \delta_{0}]$. Esto es simplemente porque de la elección de $\delta_{0}$ tal que $|f(x) - f(\alpha)| < \epsilon / 2$$|x - \alpha| \leq \delta_{0}$. Una selección de $\delta_{0}$ es posible debido a que $f$ es continua en a $\alpha$.

Mientras que el estudio de las pruebas de análisis es muy importante que uno entiende las definiciones completamente, sin ambigüedades y también es importante que uno trata de formular definiciones con la mínima cantidad de símbolos matemáticos.

Answer 2

Existe un $x$ tal que $\alpha - \delta_0 < x \leq \alpha$ y $x \in A$. De lo contrario, $\alpha$ no sería el menos límite superior de $A$.

Porque es de $f$ $\epsilon$-bien en $[a,x]$, y $[a,\alpha - \delta_0] \subset [a,x]$, se deduce que $f$ es $\epsilon$-$[a,\alpha - \delta_0]$.

Answer 3

En primer lugar, tenga en cuenta que si $x \in A$ y $a \leq y \leq x$ y $y \in A$.

Ahora si $\alpha$ es el menos límite superior de $A$ y $a \leq y < \alpha$, existe un elemento $x \in A$ entre $y$y $\alpha$ (lo contrario $y$ sería un límite superior de $A$), que muestra que el $y \in A$ por la observación anterior. Aplicando esto con $y = \alpha - \delta_0$ muestra que el $f$ $\epsilon$-bueno en $[a, \alpha - \delta_0]$.

Para la segunda parte, el mismo argumento funciona, porque en ese momento de la prueba ya hemos demostrado que $b = \alpha$.