Resumen de los resultados básicos sobre imágenes y preimages

Question

¿Hay algunas buenas descripciones de hechos básicos sobre imágenes e inversa de sistemas bajo funciones?

Answer 1

No tengo ninguna duda de que hay muchos recursos útiles en línea, pero muchos de esos resultados están disponibles aquí en el MSE, junto con sus pruebas.

Me voy a dar una lista de algunos de los principales resultados sobre imágenes y preimages enlaces a los posts, que tiene pruebas aquí en MSE. Yo estoy haciendo este CW, así que siéntase libre de agregar más identidades y referencias para más preguntas y respuestas útiles. $\newcommand{\Map}[3]{{#1}\colon{#2}\to{#3}}\newcommand{\Img}[2]{{#1}[#2]}\newcommand{\Pre}[2]{{#1}^{-1}[#2]}$

Si $\Map fXY$ es una función de y $A\subseteq X$ $B\subseteq Y$ son algunos de entonces el conjunto $$\Img fA=\{f(x); x\in A\}$$ se llama la imagen de el subconjunto $A$ y el conjunto de $$\Pre fB=\{x; f(x)\in B\}$$ se llama la preimagen o inverset imagen del subconjunto $b$.

En otras palabras, tenemos $$y\in\Img fA \Leftrightarrow (\exists x\in A)f(x)=y$$ y $x\in\Pre fB \Leftrightarrow f(x)\in B$.

En la notación de abajo, siempre asumimos $A,A_i\subseteq X$$B,B_i\subseteq Y$.

• $A\subseteq \Pre f{\Img fA}$ y, si $f$ es inyectiva, entonces $A=\Pre f{\Img fA}$.

ver Demostrando que $C$ es un subconjunto de a $f^{-1}[f(C)]$ De hecho, la igualdad es equivalente al hecho de que $f$ es inyectiva: Mostrar $S = f^{-1}(f(S))$ para todos los subconjuntos de a $S$ fib $f$ es inyectiva o Es $f^{-1}(f(A))=A$ siempre verdadera? Algunos contraejemplos a la igualdad puede ser encontrado en las respuestas a por Qué $f^{-1}(f(A)) \not= A$

• $\Img f{\Pre fB}\subseteq B$ y, si $f$ es surjective, a continuación,$\Img f{\Pre fB}=B$.

Para la segunda parte, ver a Demostrar que si $f$ es surjective, a continuación, $X = f(f^{-1}(X))$

• La operación de la toma de imágenes y preimages conserva la inclusión, es decir, $A_1\subseteq A_2$ implica $\Img f{A_1}\subseteq \Img f{A_2}$ $B_1\subseteq B_2$ implica $\Pre f{B_1}\subseteq\Pre f{B_2}$

• La imagen de la unión de dos conjuntos es la unión de sus imágenes, es decir,$\Img f{A_1\cup A_2}=\Img f{A_1}\cup\Img f{A_2}$.

Véase, por ejemplo, Demostrar $f(S \cup T) = f(S) \cup f(T)$o Funciones-Establecer la Teoría de la Prueba de que $f(C \cup D) = f(C) \cup f(D)$ o ¿Cómo puedo probar el siguiente: $f(S\cup T) = f(S) \cup f(T)$ o Mapas - pregunta acerca de la $f(A \cup B)=f(A) \cup f(B)$ $ f(A \cap B)=f(A) \cap f(B)$ o de los Sindicatos y de las Funciones de Conjuntos de

• Lo mismo es cierto para arbitrario de la unión: $$\Img f{\bigcup_{i\in I} A_i} = \bigcup_{i\in I} \Img f{A_i}.$$

Ver Mostrar que $\bigcup_i f(A_i) = f(\bigcup_i A_i)$

• En el caso de la intersección, sólo tenemos una inclusión: $$\Img f{A_1\cap A_2}\subseteq \Img f{A_1} \cap \Img f{A_2}.$$ But if $f$ is injective, then $\Img f{A_1\cap A_2} = \Img f{A_1} \cap \Img f{A_2}$.

Véase, por ejemplo, esta Es una prueba válida de $f(S \cap T) \subseteq f(S) \cap f(T)$? o Es esto una prueba de corregir : No $F(A)\cap F(B)\subseteq F(A\cap B) $ para todas las funciones $F$? o Probar $f(S \cap T) \subseteq f(S) \cap f(T)$ o ¿tenemos siempre $f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$? o Mapas - pregunta acerca de la $f(A \cup B)=f(A) \cup f(B)$ $ f(A \cap B)=f(A) \cap f(B)$ o de la Verificación de una proposición sobre la imagen y preimagen: $f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)$ $f^{-1}(C\cap D)=f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D)$ o de Cómo probar esto? "Para todos los conjuntos a,B⊆D y las funciones f:D→R, tenemos f(A∩B)⊆f(A)∩f(B))."

La parte sobre inyectiva funciones se puede encontrar en Condiciones Equivalentes a la Inyectividad o en Resultando: $f$ es inyectiva $\Leftrightarrow f(X \cap Y) = f(X) \cap f(Y)$

De hecho, si esta igualdad es verdadera para todos los subconjuntos de a$A_1,A_2\subseteq X$, $f$ debe ser inyectiva, ven A probar el mapeo f es inyectiva y el otro f es bijective

• De nuevo, las mismas reivindicaciones mantener arbitrarias de intersección: $\Img f{\bigcap_{i\in I} A_i} \subseteq \bigcap_{i\in I} \Img f{A_i}$ e si $f$ es inyectiva, entonces $\Img f{\bigcap_{i\in I} A_i} = \bigcap_{i\in I} \Img f{A_i}$.

Ver Prueba para la Imagen de la Colección Indizada de Conjuntos?

• Preimages preservar intersección: $\Pre f{B_1\cap B_2}=\Pre f{B_1} \cap \Pre f{B_2}$.

Véase, por ejemplo: ¿cuáles son las estrategias que puede utilizar para probar $f^{-1}(S \cap T) = f^{-1}(S) \cap f^{-1}(T)$? o cómo demostrar a $f^{-1}(B_1 \cap B_2) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)$ o de la Verificación de una proposición sobre la imagen y preimagen: $f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)$ $f^{-1}(C\cap D)=f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D)$

• Lo mismo es cierto para arbitrario intersecciones: $\Pre f{\bigcap_{i\in I}B_i} = \bigcap_{i\in I} \Pre f{B_i}$.

• Preimages preservar la unión: $\Pre f{B_1\cup B_2}=\Pre f{B_1} \cup \Pre f{B_2}$.

Ver: Mostrar que $f^{-1}(A \cup B) = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$

• De nuevo, esto también es cierto para la unión de más de dos conjuntos: $$\Pre f{\bigcup_{i\in I}B_i} = \bigcup_{i\in I} \Pre f{B_i}.$$

Véase: Unión de preimages y preimagen de la unión

Nos preguntamos también si la imagen y preimagen de preservar la diferencia:

• $\Img fA\setminus\Img fB \subseteq \Img f{A\setminus B}$, pero la igualdad no se sostiene en general

Ver Demostrando $f(C) \setminus f(D) \subseteq f(C \setminus D)$ y refutar la igualdad

• $\Pre fA\setminus\Pre fB=\Pre f{A\setminus B}$

La imagen y la inversa de la imagen para la composición de mapas puede ser expresado de una manera muy simple. Para $\Map fXY$, $\Map gYZ$ y $A\subseteq X$, $C\subseteq Z$ tenemos

• $\Img g{\Img fA}=\Img{g\circ f}A$

• $\Pre f{\Pre gC}=\Pre{(g\circ f)}C$

Consulte Probar que si $Z\subseteq Y$, $(g\circ f)^{-1}(Z)=f^{-1}(g^{-1}(Z)).$

Answer 2

Esta gran lista se incluye en el Apéndice A de Introducción de variedades topológicas por John M. Lee:

Que $f:X\to Y$ $g:W\to X$ mapas y Supongamos que $R\subseteq W$, $S,S'\subseteq X$ y $T,T'\subseteq Y$.

• $T\supseteq f(f^{-1}(T))$.
• $T\subseteq T' \Rightarrow f^{-1}(T)\subseteq f^{-1}(T')$.
• $f^{-1}(T\cup T')=f^{-1}(T)\cup f^{-1}(T')$.
• $f^{-1}(T\cap T')=f^{-1}(T)\cap f^{-1}(T')$.
• $f^{-1}(T\setminus T')=f^{-1}(T)\setminus f^{-1}(T')$.
• $S\subseteq f^{-1}(f(S))$.
• $S\subseteq S' \Rightarrow f(S)\subseteq f(S')$.
• $f(S\cup S')=f(S)\cup f(S')$.
• $f(S\cap S')\subseteq f(S)\cap f(S')$.
• $f(S\setminus S')\supseteq f(S)\setminus f(S')$.
• $f(S)\cap T=f(S\cap f^{-1}(T))$.
• $f(S)\cup T\supseteq f(S\cup f^{-1}(T))$.
• $S\cap f^{-1}(T)\subseteq f^{-1}(f(S)\cap T)$.
• $S\cup f^{-1}(T)\subseteq f^{-1}(f(S)\cup T)$.
• $(f\circ g)^{-1}(T)=g^{-1}(f^{-1}(T))$.
• $(f\circ g)(R)=f(g(R))$.

Answer 3

El "compendio en línea de pruebas matemáticas" conocido como ProofWiki tiene la mayoría de estos resultados, con una o más pruebas. (Que conste, estoy algo afiliado con ese sitio.)

Más resultados sobre imágenes y preimages deben ser en la teoría de la asignación de categoría (ver bajo la "M").

Answer 4

Aquí es interesante la aplicación de la inversa de la imagen:

1. Dadas dos funciones: $ f : R \times R \rightarrow R, g : R \rightarrow 2, g=([n_0..n_1] \mapsto 1)$, la composición de ellos da la característica de la función de $ h : R \times R \rightarrow 2$.
2. El uso de la ecuación de $h(x,y)=1$ elegir $1$$2=\{0,1\}$.
3. Una vez elegido, el uso de la inversa de la imagen para encontrar todos los $(x,y)$ pares de: Inversa de la imagen $g^{-1}(1)$ da todo el rango de $[n_0..n_1]$. Inversa de la imagen $ f^{-1} ([n_0..n_1]) $ es la más interesante.
4. Ejemplo de cómo funciona esto es simplemente por la elección de $f = \sqrt{x^2+y^2}$ $g=([0..5]\mapsto 1)$ para obtener un (lleno) círculo con un radio de 5 de la inversa de la imagen, la distancia de la función f, simple y rango de la función g.
5. Ejemplo2: $f=\sqrt{x^2+y^2}$ $g=([3..5]\mapsto 1)$ le da un círculo con un agujero.
6. Ejemplo3: $f=\sqrt{x^2+y^2}$ $g=([r..r]\mapsto 1)$ da las soluciones a la ecuación de $x^2+y^2=r^2$ (con la salvedad de que la función característica es inútil)
7. Información de la clave es que la inversa de imágenes puede dar más información acerca de subconjuntos definidos a través de funciones características.