Las variedades algebraicas complejas no singulares son variedades complejas "una prueba más formal"

Question

Antes de decirme que esta pregunta quizás ya se ha hecho me gustaría pedirte algo más concreto, claro como respuesta y no sólo comentarios por favor.

Entonces, sé que toda variedad algebraica no singular sobre $\mathbb{C}$ tiene la estructura de una variedad compleja suave. Y aunque suena bastante razonable en mi cabeza, ya que una variedad compleja es un subconjunto de la forma $X \subseteq \mathbb{C}^{n}$ No puedo ver cómo existe esta estructura suave. $\mathbf{What}$ $\mathbf{charts}$ $\mathbf{do}$ $\mathbf{we}$ $\mathbf{use}$ $\mathbf{to}$ $\mathbf{do}$ $\mathbf{that}$ ? Aparentemente tenemos que cambiar la topología de ese espacio, ya que este espacio topológico (dotado de la topología de Zariski) ni siquiera es Hausdorff en el sentido habitual. Así que, estrictamente hablando, no toda variedad compleja no singular tiene una estructura suave que la convierta en una variedad compleja, a menos que su dimensión sea cero. Sin embargo, debe haber un espacio complejo asociado o incluso más analítico.

Me enteré en algún sitio, algo más sofisticado y más algebraico, que Serre en el llamado artículo GAGA construyó un functor que hace ese trabajo, pero la idea supongo que es más o menos la misma (quiero decir que se basa en el hecho de que las variedades complejas no singulares admiten una topología-estructura de una variedad compleja).

Además, una pregunta más, supongo que lo contrario de lo anterior no es cierto en absoluto. Es decir, no toda variedad compleja está dada por una variedad compleja. Pero, ¿cómo podemos dar una prueba formal de eso o un contraejemplo?

Gracias por la paciencia.

Answer 1

A) Una subvariedad algebraica suave $X\subset \mathbb C^n$ es localmente en X dado por el conjunto $V(f_1,\cdots,f_k)\subset \mathbb C^n$ de ceros comunes de una lista $f_1,\cdots,f_k$ de polinomios con matriz jacobiana de rango $k$ .
El teorema de la función implícita muestra entonces que si consideramos estos polinomios como funciones holomorfas, la variedad $X$ es un submanifold holomórfico de $\mathbb C^n$ .
Tenga en cuenta que en general es imposible encontrar polinomios $f_1,\cdots,f_k$ tal que $X=V(f_1,\cdots,f_k)$ y que satisfacen la condición jacobiana en cada $x\in X$ los polinomios $f_i$ a priori dependen de la elección de $x\in X$ .
(Sin embargo, si uno puede encontrar tales polinomios que funcionen en todas partes independientemente de $x\in X$ entonces $X$ se dice que es una intersección completa en $\mathbb C^n$ .)

B1) La más simple de las colectoras complejas holomorfas $X$ sin estructura algebraica es $X=\mathbb C\setminus \mathbb Z$ .
La afirmación precisa es que no existe una variedad algebraica $Y$ cuya analítica es (isomorfa a) $X$ es decir $Y^{an}=X$ es imposible. Entonces decimos que $X$ no es algebraizable
La razón por la que $\mathbb C\setminus \mathbb Z$ no es algebraizable es que cualquier variedad algebraica lisa compleja no compacta de dimensión $1$ se obtiene suprimiendo un número finito de puntos de una variedad lisa unidimensional compacta.
Así que hay un obstáculo puramente topológico para $\mathbb C\setminus \mathbb Z$ siendo algebraizable.

B2) Toda colector complejo compacto unidimensional es algebraizable: este es el célebre teorema de Riemann.

B3) Existen toros complejos compactos $X$ de cualquier dimensión $n\geq 2$ que no son algebrables.
Un toroide complejo es una variedad de la forma $X=\mathbb C^n/\Gamma$ donde $\Gamma =\oplus _{j=1}^{2n}\mathbb Z\cdot v_j$ es la red obtenida a partir de alguna base $(v_j)_{j=1\cdots 2n}$ del espacio vectorial real subyacente $\mathbb C^n$ .
Las sutiles relaciones entre los $v_j$ 's dictando si $X$ es algebraizable o no fueron descubiertas por Riemann (¡él de nuevo!) y se denominan relaciones bilineales de Riemann.

Edición (2 de septiembre de 2016): la condición técnica de algebraizabilidad de un toro.
El criterio de Riemann para la algebraicidad del toro $\mathbb C^n/\Gamma$ es que existe una forma hermitiana $H:\mathbb C^n\times \mathbb C^n\to \mathbb C$ cuya parte imaginaria es integral en la red: $$(Im H)(\Gamma\times \Gamma)\subset \mathbb Z$$ Por ejemplo, todo toro complejo de dimensión $1$ se obtiene dividiendo $\mathbb C$ por un entramado de la forma $\Gamma =\mathbb Z \oplus \mathbb Z\tau$ donde $\tau =a+ib$ con $b\gt0$ .
Dicho toro es algebraizable como lo atestigua la forma hermitiana $H(z,w)=\frac {z\overline w}{b}$ .
Esto coincide, por supuesto, con el resultado mencionado en 2.

Bibliografía
Una buena introducción a estas ideas es el libro de Shafarevich Geometría algebraica básica 2 : Capítulo 8, página 153.