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Question

Demostrar que $y=\lfloor x\rfloor$ no tiene una función primitiva.

Aquí tengo la prueba de un libro pero no entiendo:

Supongamos que hay $F(x)$ tal que $F'(x)=\lfloor x\rfloor$. Tenemos que $y=\lfloor x\rfloor$ tiene una discontinuidad de salto (o tipo 1) pero $F'(x)$ tiene sólo una esencial discontinuidad (o tipo 2), una contradicción.

No entiendo, ¿por qué $F'(x)$ tiene una discontinuidad esencial?

Answer 1

La prueba está en silencio atractivo para el teorema de Darboux:

Si $I$ es un intervalo abierto, y $f:I\to\Bbb R$ es una función derivable, entonces $f'$ tiene el valor intermedio de la propiedad. Es decir, si $a,b\in I$, $a<b$, y $y$ entre $f'(a)$$f'(b)$, entonces no es un $x\in[a,b]$ tal que $f'(x)=y$.

Esto significa que un derivado no puede haber un salto de discontinuidad y por lo tanto no puede ser el piso de la función. En particular, supongamos que $F'(x)=\lfloor x\rfloor$, y tome $I$ a ser el intervalo de $(-1,2)$. A continuación,$0,1\in I$, y

$$F'(0)=\lfloor 0\rfloor=0<\frac12<1=\lfloor 1\rfloor=F'(1)\;,$$

pero no es $x\in[0,1]$ tal que $F'(x)=\frac12$, que contradice el teorema de Darboux.

Answer 2

Una respuesta bastante "salvaje" sería $x>0$: $$F(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \delta(x-n)$ $