Dado dos paralelepípedos rectangulares en el espacio de $3D$, ¿cómo sería usted calcular el volumen de su intersección? Las orientaciones de los dos paralelepípedos rectangulares no están limitadas de ninguna manera especial. Cada paralelepípedo es descrito por un $P$ que es un rincón de la $parallelepiped$ $F$ que representan los tres mutuamente orthogonal los cantos que se reúnen en el punto $G$ y así como vectores $H$, $P$,.
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Sería una manera viable a todas las caras de cada caja contra los planos límite del otro, que te deja con un montón de caras convexas que forman los límites del objeto de intersección límite 6. El volumen real de este objeto se puede calcular por
$$ V = \frac{1}{3} \sum_{F_i \in Faces} \vec p_i \cdot \vec n_i A_i $$
en que $\vec p_i$ es un punto en la cara, $\vec n_i$ es la unidad normal y $A_i$ es el área de cara $F_i$. Tenga cuidado de mantener la orientación de las caras consistente, sin embargo.
Noah Jacobson
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Gudmundur Orn
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Yo estaba pensando en un par de diferentes enfoques. Prismas rectangulares son bien comportados, por lo que es posible hacer un cálculo directo mediante alguna fuerza bruta multivariable integrales. Esto parece... doloroso.
Yo estoy convencida de que hay una general y de manera fácil de hacer esto, aunque debo decir que el WLOG nos puede asumir un prisma para estar en el 'normal' de orientación con un vértice en el origen, y situada totalmente en el octante positivo (son octantes numerado como 2D cuadrantes son?).
A menos que me equivoco, la intersección será convexa (esto parece cierto, ¿sí?) y un poliedro. Así que puede ser descompuesto en tetraedros utilizando sólo el original de los vértices. Esto debería funcionar. Es duro? No lo creo, pero no he descompuesto muchos de los poliedros de antes.
Estos son sólo mis pensamientos sobre el problema, y por desgracia demasiado largo para un comentario.
