Compacidad se utiliza para obtener una cobertura por bolas más pequeñas especiales

Question

Supongamos que $(X,d)$ es un espacio métrico compacto. Supongamos que tenemos un conjunto $A \subseteq X$ tal que el conjunto de bolas abiertas de radio $\epsilon$ alrededor de los puntos de $A$ cubren $X. He leído que "Por compacidad, existe $\epsilon_{1} < \epsilon$ tal que las bolas de radio $\epsilon_{1}$ centradas en los puntos de $A$ también cubren $X." ¿Alguno de ustedes tiene pistas sobre cómo pensar en esto/empezar con esto? Sé que los espacios métricos compactos están totalmente acotados, entonces para cualquier $\epsilon_{2}$ hay una colección finita de bolas de radio $\epsilon_{2}$ que cubren $X, pero entonces no tenemos información sobre si (algunas) de esas bolas están centradas alrededor de nuestros puntos deseados.

Hay un poco de información sobre $A$ que no creo que sea necesaria - si lo es, sin embargo, la proporcionaré con gusto.

¡Gracias por cualquier pista!

Answer 1

Considera la cubierta abierta $B(a, \delta)$ para todos los $a \in A$ y todos los $\delta < \epsilon$. Dado que $X$ es compacto, existe una subcubierta finita $B(a_i, \delta_i)$ para $i \in \{1, \ldots, n\}$. Ahora pon $\epsilon_1 = \max(\delta_i : i \in \{1, \ldots, n\})$.

Answer 2

Sean $x_1,...x_n$ puntos tales que $\bigcup_1^nB_\epsilon(x_i)=X$. Para $x_1$ la función $d(x_1,y):X-\bigcup_2^n B_\epsilon(x_i)\to\Bbb R$ alcanza un máximo $m$ ya que el dominio es compacto. Este $m$ debe ser menor que $\epsilon$, así que elige $m<\epsilon_1<\epsilon$. Luego $B_{\epsilon_1}(x_1)\cup\bigcup_2^n B_{\epsilon}(x_i)$ aún cubre $X$, por lo que podemos reemplazar las bolas de $\epsilon$ por $\mathcal U_1:=\{B_{\epsilon_1}(x_1),B_{\epsilon}(x_2),...,B_{\epsilon}(x_n)\}$. Nuevamente, el conjunto $X-\bigcup\mathcal U_1$ es compacto, y por el mismo argumento hay un $\epsilon_2<\epsilon$ tal que $\mathcal U_2:=\{B_{\epsilon_1}(x_1),B_{\epsilon_2}(x_2),B_{\epsilon}(x_3),...,B_{\epsilon}(x_n)\}$ sigue siendo una cubierta abierta de $X$. Repitiendo este proceso obtienes un número finito de valores cada uno menor que $\epsilon$. Sea $\delta=\max\{\epsilon_1,\epsilon_2,...,\epsilon_n\}$, entonces las bolas $B_\delta(x_i)$ forman una cubierta abierta de $X.

Hemos demostrado que existe lo que se llama encogimiento de la cubierta original.