¿Cómo solucionarlo?

Question

Supongamos $C^2(\mathbb R^n)$vector campo $u(x)$, ¿cómo resolver este pde? $$\nabla(u\cdot u)=\lambda u$ $ $\lambda$ constante.

La intuición física es que: el lado izquierdo de la ecuación es advección aceleración de flujo irrotacional, mientras que la derecha es algo así como la fuerza de viscosidad.

Tengo dos soluciones: una es $u=0$ y el otro es $u=\frac12\lambda x$. No tengo idea como obtener otras soluciones, ni saben la existencia de otras soluciones. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Aquí están algunas soluciones no triviales para el problema. Tenga en cuenta que el valor de $\lambda$ no tiene ningún significado intrínseco.

Considerar un suave cerrada convexa hipersuperficie $S\subset{\mathbb R}^n$ (un huevo) y sea el exterior de $\Omega$ $S$. ${\bf x}\in\Omega$ Definir % $ $$f({\bf x}):=d({\bf x},S)=\inf_{{\bf y}\in S}|{\bf x}-{\bf y}|\ .$${ \bf p}\in\Omega$fijo hay un único ${\bf z}\in S$ $f({\bf p})=|{\bf p}-{\bf z}|$, y uno tiene $$f\bigl({\bf p}+t({\bf p}-{\bf z})\bigr)=f({\bf p})+t|{\bf p}-{\bf z}|\qquad(t\geq0)\ .$ $ sigue que $${\bf E}:=\nabla f$ $ es un campo del vector unidad en $\Omega$. Ahora poner $${\bf U}({\bf x}):=f({\bf x})\>{\bf E}({\bf x})\qquad({\bf x}\in\Omega)\ .$ $ después $ de $$\nabla({\bf U}\cdot{\bf U})=\nabla( f^2)=2 f\>\nabla f=2f\>{\bf E}=2{\bf U}\ .$

Answer 2

Aquí está mi intento.

\begin{align} u:\mathbb R^n&\to\mathbb R, & \nabla\,\big(\,u\cdot u\,\big)&=\lambda \,u &\iff && \begin{cases} \dfrac{\partial}{\partial x_1} \Big(u_1^2 + \dots + u_n^2 \Big) = \lambda u_1 \\ \qquad\qquad\vdots \\ \dfrac{\partial}{\partial x_n} \Big(u_1^2 + \dots + u_n^2 \Big) = \lambda u_n \\ \end{casos} \end{align}

Indicar $\,F := u\cdot u = u_1^2 + \dots + u_n^2 \,$, para que la ecuación original tendrá forma

\begin{align} \nabla F &= \lambda \,u\,& \iff & & \dfrac{\partial F}{\partial x_i} & = \lambda\,u_i & \forall \; i = 1,\,\dots,\, n \end {Alinee el}

Pero luego

\begin{align} F = \sum_{i=1}^n u_i^2 = \dfrac{1}{\lambda^2}\sum_{i=1}^n (\dfrac{\partial F}{\partial x_i})^2 \implies \lambda^2\,F = \big(\,\nabla F\cdot\nabla F\,\big)= \big\| \nabla F\big\|^2 \end {Alinee el}

Por lo tanto todo lo que necesitas hacer es resolver la ecuación\begin{align} \bbox[4pt, border:2pt solid #FF0000]{\left\| \nabla F\right\|^2_{\phantom{y}} = \lambda^2\,F} \end {Alinee el} y la solución del problema original será $\;u=\dfrac{1}{\lambda}\,\nabla F.\,$

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En particular, consideremos, por ejemplo, solución\begin{align} F &= a\,\left\|x\right\|^2 = x_1^2 + \dots + x_n^2 &\implies && \nabla F &= 2\,a\,x &\implies&& a&= \dfrac{\lambda^2}{4} \\ &&\implies && u & = \dfrac{1}{2}\,\lambda\,x \end {Alinee el}