me doy cuenta que hay varios tamaños del infinito por lo que uno puede ser más grande que otro, pero cómo demuestras que un infinito es más grande. No estoy buscando pruebas o nada pero solo quiero la notación que se utilizará en un problema ni nada. He leido algo sobre alfas y omegas para distinguir los tamaños del infinito pero no encuentro explicaciones.
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Lorin Hochstein
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Deje $X$ $Y$ se establece; decimos que el $X$ $Y$ son equiparada, si y solo si hay un bijection $f\colon X\to Y$, y se denota por escrito $|X|=|Y|$. La relación de equipollence es una relación de equivalencia, como es fácil de probar.
A pesar de que la clase de todos los conjuntos no es un conjunto, todavía podemos pensar en esta relación de equivalencia como la partición de los conjuntos de clases de equivalencia.
Decimos que $X$ "tiene cardinalidad menor o igual a $Y$" si hay una inyección de $X$ a $Y$. Podemos escribir esto como $|X|\leq |Y|$. Podemos decir $|X|\lt |Y|$ si y sólo si $|X|\lt |Y|$$|X|\neq|Y|$.
Es equivalente al Axioma de Elección que dados cualesquiera dos conjuntos de $X$$Y$,$|X|\lt |Y|$, $|X|=|Y|$, o $|Y|\lt|X|$ (y exactamente uno tiene); es decir, la relación es de trichotomic.
Si suponemos el Axioma de Elección, entonces también hay una colección especial de representantes de las clases de equivalencia bajo equipollence, llama a los números cardinales. Las clases correspondientes a finito de conjuntos, representados por los números naturales, $0$, $1$, $2$, etc; nos escriben cosas como $|X|=7$ significa que $X$ es equiparada con $7=\{0,1,2,3,4,5,6\}$, es decir, tiene siete elementos.
Para conjuntos infinitos, el equipollence clases están representadas por el infinito cardenales, que se denotan por el aleph números (esto puede ser lo que vagamente recuerdo como "alphas"). El más pequeño infinito de cardenal es $\aleph_0$ (llamados "aleph cero" o "aleph cero", o "el aleph" null"); seguido por $\aleph_1$ ("aleph"), a continuación,$\aleph_2$, etc. El aleph números son indexados por los números ordinales, que son otro tipo especial de conjuntos (que corresponde a "bueno órdenes" de la misma manera que los cardenales corresponden a los "tamaños"). El primer ordinal infinito es $\omega$ (omega), que corresponde a la ordenada conjunto de los números naturales. Hay una media aritmética de alephs, de modo que se puedan añadir, multiplicado, y otras operaciones (como la exponenciación o infinito de productos).
Y ahora, para poner todo eso junto: para indicar que un conjunto infinito $X$ es (estrictamente) menor que otro set $Y$, escribimos $|X|\lt |Y|$. Cuando se trabaja con alephs o, más generalmente, los números cardinales, que nos dispensan con el "valor absoluto bares" y simplemente escribir las expresiones que involucran alephs, por ejemplo, $\aleph_1\leq 2^{\aleph_0}$ o $\kappa\lambda = \kappa+\lambda$ si al menos uno de los cardenales $\kappa$ $\lambda$ son infinitas, etc.
Estoy bastante seguro de que usted puede encontrar la mayoría de este en Halmos la Ingenua Teoría de conjuntos, pero estoy fuera de la oficina en este momento; voy a ver mañana, y si no, dar otra referencia.
Añadido. Halmos usa $X\sim Y$ para el caso de que $X$ $Y$ son bijectable, y $X\stackrel{\lt}{\sim} Y$ para el caso de que $X$ es bijectable con un subconjunto de a $Y$ (es decir, cuando hay una inyección de$X$$Y$. (La sección 22, en el Schroeder-Teorema de Bernstein). A continuación, usa $\prec$ para la desigualdad estricta de los cardenales. En la primera se utiliza $\mathrm{card}\;a$ para la cardinalidad del conjunto de $a$, a continuación, utiliza las letras romanas para los números cardinales, y los interruptores para el más común de $\lt$ en la Sección 24 (Cardenal Aritmética); se introduce el Alephs en la penúltima página de su libro.
