Encuentra el segundo coeficiente de la serie $\frac{1}{(1+x)^\frac{1}{4}} = \sum_{n=0}^\infty c_nx^n$

Question

Si $$\frac{1}{(1+x)^\frac{1}{4}} = \sum_{n=0}^\infty c_nx^n$$ entonces $c_2$ es....

Creo que sé cómo intentar el problema pero no estoy seguro de estar en el camino correcto

Empecé con la serie conocida

$$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n$$

A continuación, intenté manipular el lado izquierdo para que fuera igual que la ecuación anterior. Entonces, dependiendo de cómo se vea el término x, podría introducir un valor de n para encontrar el segundo coeficiente de la serie; sin embargo, estoy teniendo algunos problemas para manipular el problema debido a la cuarta potencia.

Hasta aquí llegué...

$$\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^\infty x^n(-1)^n$$

Sé que cambiar el $x$ en el lado izquierdo cambiará el $x$ término en el lado derecho, pero no tengo claro si puedo cambiar el denominador entero en el lado izquierdo y cómo eso afectaría al lado derecho ya que la cuarta potencia está sobre el denominador entero.

Es una final antigua, así que sé que la respuesta es $\frac{5}{32}$ pero no sé cómo obtener esa respuesta.

Answer 1

Hay dos maneras de hacerlo. En primer lugar, está la fórmula

$$ (1 + x)^\alpha = \sum_{k = 0}^\infty {\alpha \choose k}x^k $$

donde para un número complejo arbitrario $\alpha$ y $k \in \mathbb N$

$$ {\alpha \choose k} = \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2) \cdots (\alpha - k + 1)}{k!}. $$

Sin embargo, sospecho que el problema te pide que lo hagas calculando derivadas. Recordemos que si $f(x)$ admite una representación en serie de potencias en $0$ entonces

$$ f(x) = \sum_{k = 0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k. $$

Así que en este caso, el número que se busca es

$$ c_2 = \frac12 \cdot \left. \frac{d^2}{dx^2} \frac{1}{(1 + x)^{1/4}} \right|_{x \leftarrow 0}. $$

Answer 2

Tener una expansión de Taylor en $0$

$$f(x)=\frac{1}{(1+x)^\frac{1}{4}} =\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x-0)^n =\sum_{n=0}^\infty c_nx^n$$ entonces $c_2=\frac{f''(0)}{2!}$

$f''(x)=((1+x)^{-0.25})''=(-0.25 \times (1+x)^{-1.25})'=\frac{5}{16}(1+x)^{-\frac{9}{4}}$

Así, $c_2 = \frac{5}{32}$

Answer 3

He aquí una forma sencilla y directa que evita cualquier teorema profundo de análisis. Tenemos $$\left(\sum c_{n}x^{n}\right)^{4}(1 + x) = 1$$ o $$\left\{c_{0}^{2} + 2c_{0}c_{1}x + (2c_{0}c_{2} + c_{1}^{2})x^{2} + \cdots\right\}^{2}(1 + x) = 1$$ o $$\left\{c_{0}^{4} + 4c_{0}^{3}c_{1}x + \{2c_{0}^{2}(2c_{0}c_{2} + c_{1}^{2}) + 4c_{0}^{2}c_{1}^{2}\}x^{2} + \cdots\right\}(1 + x) = 1$$ y entonces tenemos por comparación de coeficientes $$c_{0}^{4} = 1, 1 + 4c_{0}^{3}c_{1} = 0, 4c_{0}^{3}c_{1} + 2c_{0}^{2}(2c_{0}c_{2} + c_{1}^{2}) + 4c_{0}^{2}c_{1}^{2} = 0\tag{1}$$ A partir de la ecuación original $\sum c_{n}x^{n} = (1 + x)^{-1/4}$ obtenemos $c_{0} = 1$ poniendo $x = 0$ . Entonces, poniendo este valor de $c_{0}$ en $(1)$ obtenemos $$c_{1} = -1/4, -1 + 2(2c_{2} + 1/16) + 1/4 = 0$$ o $c_{2} = (1/2)(3/8 - 1/16) = 5/32$ .

Answer 4

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} {1 \over \pars{1 + x}^{1/4}} & = \pars{1 + x}^{-1/4} = 1 + \pars{-\,{1 \over 4}}x\ +\ \overbrace{{1 \over 2!} \pars{-\,{1 \over 4}}\pars{-\,{1 \over 4} - 1}} ^{\ds{-1/4 \choose 2}}\ \,x^{2} + \,\mrm{O}\pars{x^{3}} \\[5mm] & = 1 - {1 \over 4}\,x + \color{#f00}{5 \over 32}\,x^{2} + \,\mrm{O}\pars{x^{3}} \end{align}