Evitar L ' hopital ' regla s

Question

$$\lim_{x\to 0} {\ln(\cos x)\over \sin^2x} = ?$$

Puedo solucionar esto mediante el uso de la regla de L'Hopital pero, ¿cómo sería hacerlo sin esto?

Answer 1

$$\frac{\log\left(\cos\left(x\right)\right)}{\sin^{2}\left(x\right)}=\frac{1}{2}\frac{\log\left(1-\sin^{2}\left(x\right)\right)}{\sin^{2}\left(x\right)}=-\frac{\sin^{2}\left(x\right)+O\left(\sin^{4}\left(x\right)\right) }{2\ \stackrel sin^{2}\left(x\right)} {x\rightarrow0} {\rightarrow}-\frac {1} {2}. $$

Answer 2

La expresión es igual a

$$\frac{\ln (\cos x) - \ln (\cos 0)}{\cos x - \cos 0}\cdot\frac{\cos x - 1}{x^2}\cdot \frac{x^2}{\sin^2 x}.$$

La primera fracción $\to \ln'(1) = 1,$ por la definición de la derivada. El límite de la segunda fracción es estándar y es igual a $-1/2.$ la tercera fracción $\to 1.$ por lo que el límite es de $-1/2.$

Answer 3

Puede utilizar los límites importantes: $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} =1$ y $\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$ (es decir, $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{x}=1$). \begin{align*} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln \cos x}{\sin^2 x} &= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x -1}{x^2}\\ &=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2}\\ &=-\frac{1}{2}. \end{Alinear *}

Answer 4

En ESTA RESPUESTA, me mostró el uso de sólo el límite de la definición de la función exponencial y la Desigualdad de Bernoulli que el logaritmo de la función satisface las desigualdades

$$\frac{x-1}{x}\le \log(x)\le x-1 \tag 1$$

para $x>0$.

Entonces, hemos de $(1)$

$$\frac{\cos(x)-1}{\cos(x)\sin^2(x)}\le \frac{\log(\cos(x))}{\sin^2(x)}\le \frac{\cos(x)-1}{\sin^2(x)} \tag 2$$

Ahora, usando la identidad trigonométrica $\cos(x)-1=-2\sin^2(x/2)$ $(2)$ revela

$$-2\frac{\sin^2(x/2)}{\cos(x)\sin^2(x)}\le \frac{\log(\cos(x))}{\sin^2(x)}\le -2\frac{\sin^2(x/2)}{\sin^2(x)} \etiqueta 3$$

cual aplicación del teorema del encaje a $(3)$ da el codiciado límite

$$\lim_{x\to 0}\frac{\log(\cos(x))}{\sin^2(x)}=-\frac12$$

Tenga en cuenta que hemos utilizado el resultado $\log_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$, la cual se puede obtener un número de maneras, incluyendo el uso de la bien conocido que las desigualdades de la geometría elemental

$$x\cos(x)\le \sin(x)\le x$$

para $|x|\le \pi/2$.

Answer 5

Tenga en cuenta que $$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2(\frac x2)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac 14 \frac{2\sin^2(\frac x2)}{\frac{x^2}{4}}=\frac{1}{2}$ $, $$\lim_{u\to 1}\frac{\ln u}{u-1}=\ln'(1)=1$ $ por lo tanto, puesto que $u=\cos x$ tiende a 1 cuando $x$ tiende a 0: $$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(\cos x)}{\cos x-1}=1$ $ así $$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(\cos x)}{x^2} =\lim_{x\to 0}\frac{\ln(\cos x)}{\cos x-1}\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^2}=-\frac{1}{2}$ $

Por último, tenemos desde %#% $ de #%, $$\lim_{x\to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 = 1^2=1$ $

Edición: con expansiones de Taylor, la vida se hace más fácil! Cerca de 0, tenemos %#% $ #%

Desde $$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(\cos x)}{\sin^2x}=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(\cos x)}{x^2}\lim_{x\to 0} \left(\frac{x}{\sin x}\right)^2=-\frac{1}{2}$cerca de 0%, obtenemos (dejar $$\frac{\ln(\cos x)}{\sin^2x}=\frac{\ln\left(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)}{x^2+o(x^2)}$ arriba): $\ln(1+u)=u+o(u)$ $ cerca de 0. Así que el límite es de $u=-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$.