El sistema es abierto complemento iff está cerrado en $\mathbb{R^n}$

Question

Es mi prueba de la siguiente correcta?

1. Un conjunto $A\subseteq \mathbb{R^n}$ es abrir el fib $\mathbb{R^n}-A$ es cerrado.
2. Un conjunto $A\subseteq \mathbb{R^n}$ es cerrado iff $\mathbb{R^n}-A$ está abierto.

Prueba. Supongamos que $A$ está abierto. Debemos demostrar que para cada $x\notin \mathbb{R^n}-A$ hay una nbhd $N$$N\cap (\mathbb{R^n}-A)=\varnothing$. Deje $x\notin \mathbb{R^n}-A\implies x\in A$. Como $A$ es abierto, existe un abierto nbhd $N$ $x$ tal que $x\in N \subseteq A$. Esto implica que $N\cap (\mathbb{R^n}-A)=\varnothing$.

Por el contrario, supongamos que $\mathbb{R^n}-A$ es cerrado. Cada punto de $x\notin \mathbb{R^n}-A$ tiene un nbhd $N$$N\cap (\mathbb{R^n}-A)=\varnothing$, lo $N$ se encuentra en su totalidad dentro de $A$ (es decir, $x\in N \subseteq A$). Por lo $A$ está abierto.

La segunda declaración de la siguiente desde el primer sustituyendo $\mathbb{R^n}-A$ $A$

Answer 1

1) $(\implies)$ usted está casi allí, asumir $A$ es un conjunto abierto. Que $x\in A$, entonces podemos encontrar un conjunto abierto $O$ tal que $x\in O \subset A $ que implica $O \cap A^c = \phi$ desde $A \cap A^c = \phi.$

Nota: $A^c=R^n\setminus A$ es el complemento.

Answer 2

El primer párrafo de su prueba tiene toda la razón. La segunda afirmación es más fácil de hacer usando el primero y el hecho $$\Bbb R^n - \left(\Bbb R^n - A\right)=A.$ $