¿Es el campo libre de Bose un campo conformal?

Question

Vamos a considerar el libre Bose campo $$S=\frac{1}{2}g\int d^2x\ \partial_\mu\varphi\partial^\mu\varphi.$$ La acción aparentemente muestra que el sistema ha invariancia conforme (al menos en la clásica de nivel). Y se puede ver que el Bose campo ha de conformación de la dimensión $0$. Pero ahora, he leído en un libro (Una introducción a la Teoría conforme de campos: Con Aplicaciones a la Teoría de cuerdas, R. Blumenhagen & E. Plauschinn, pp 50, a continuación Eq.(2.92)) que:

Como hemos mencionado anteriormente, el libre bosón $\varphi(z, \bar{z})$ no es una de conformación del campo desde su conformación dimensiones desaparecen $(h, \bar{h}) = (0, 0)$.

Mi pregunta es, ¿la fuga de conformación de la dimensión indicar que el campo en sí no es una conformación campo? ¿Cómo definimos una de conformación del campo?

Además, el punto dos de correlacionador de un (cuasi-)campo primario con fuga de conformación de la dimensión debe tener la forma $\langle\varphi(x)\varphi(y)\rangle= \frac{C_{12}}{|x_1-x_2|}$, pero para el libre Bose campo, en el otro lado, tenemos a $\langle\varphi(x)\varphi(y)\rangle= -\frac{1}{4\pi g}\ln (x-y)^2$. ¿Por qué son diferentes? Tal vez usted va a decir, es la diferencia para el correlacionador de las formas que indica el libre Bose campo no es una conformación de campo. Pero me gustaría saber ¿hay alguna razón más profunda para explicar por qué su correlación es diferente de la de un campo primario y, por tanto, en sí no es una conformación campo?

Answer 1

Para ser precisos, los dos puntos de la función de (0,0) campos es realmente

$\langle \varphi(x) \varphi(y) \rangle \sim \log ( \mu^2 |x-y|^2 ) $

donde $\mu$ es la de IR de corte de la teoría. Tenga en cuenta que esta es la única dimensionalmente consistente ecuación se puede escribir abajo. Inmediatamente, esto indica la razón por la $\varphi(x)$ no está bien definido por el operador en la teoría cuántica - su correlators están regulador dependiente! Por lo tanto, no puede ser un operador de referencia en la teoría cuántica ya que todos los operadores físicos están obligados a ser regulador independiente.

Dicho esto, es conveniente continuar con la discusión sobre el objeto de $\varphi(x)$ como uno puede construir reales de los operadores en el espacio de Hilbert de, por ejemplo, la $\partial_\mu \varphi(x)$ o $: \exp [ i k \varphi(x)] : $, etc.

Answer 2

De hecho, la razón más obvia 2D gratis bosón de campo no es un buen campo de la teoría conforme de campos es que sus dos puntos de función es "malo". Esto, sin embargo, no debe ser en sí mismo sorprendente - si acabamos de empezar a partir de un campo invariante bajo conformación de simetría (que $\phi$ es), entonces tenemos que partir de la "pura" CFT punto de vista de esperar que la teoría de ser trivial. Sin embargo, si se cambia a una mejor descripción de la teoría, se hace evidente cómo leer como una adecuada CFT: La idea es que de costumbre bosonization, y declaramos que la "verdad" de conformación del campo a ser $V_\alpha = \, :\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha\varphi}:$.

¿Cómo sabemos que hay un "verdadero" CFT escondido aquí? Bien, sabemos que el espacio de estados no es trivial! Tenemos las corrientes $j(z) = \mathrm{i}\partial\varphi$ y su antiholomorphic contraparte. La expansión de estos en los modos (ya que cumplan $\partial j = \bar{\partial}\bar{j} = 0$) y la integración de los rendimientos $$ \varphi(z,\bar{z}) = \phi_0 - \mathrm{i}(a_0z + \bar{un}_0z) - \mathrm{i}\sum_{n\neq 0}\frac{1}{n}\left(\mathrm{e}^{-nz}a_n + \mathrm{e}^{-n\bar{z}}\bar{un}_n\right)$$ El examen de las relaciones de conmutación nos lleva a intepret $a_n$ como la creación y $a_{-n}$ como aniquilación del operador para $n > 0$. El espacio de Hilbert, a continuación, debe llevar a una representación de este álgebra de operadores, y, en particular, se debe descomponer como la suma directa de espacios de Fock construido a partir de un autovector de a $a_0$.

Ahora, el exponenciales en el modo de expansión se ven bien "de la onu-de conformación". Por lo general, quieren modo de expansiones como $a_nz^{-n-h}$. Por lo que aplicar el cilindro-a-plano mapa de $z\mapsto \mathrm{e}^{-z}$. Esto nos lleva a considerar la teoría de la conformación de los campos de $V_\alpha$, y se podría encontrar que estos obedecen a la adecuada de n-funciones de punto para la conformación de los campos. Es decir, la teoría de 2D bosones en un cilindro no es, en sí, naturalmente, interpretado como un puro CFT, pero su teoría equivalente en un avión (con la habitual presunción de CFT donde nos quite el origen y pensar que es el pasado infinito) no poseen tal interpretación.