Momentos de las distribuciones de mezcla si una distribución tiene momentos indefinidos/infinito

Question

Considere la posibilidad de funciones de densidad de probabilidad $f_{1}\left(x\right)$ $f_{2}\left(x\right)$ y la mezcla de distribución $$f_{3}\left(x\right)\equiv pf_{1}\left(x\right)+\left(1-p\right)f_{2}\left(x\right)$$ Suponga que los momentos asociados con $f_{1}\left(x\right)$ son todos claramente definido, pero los momentos de $f_{2}\left(x\right)$ puede no ser necesariamente (por ejemplo, una de Cauchy o Gravamen de distribución).

Para calcular el valor esperado de encontrar $$\int_{-\infty}^{\infty}xf_{3}\left(x\right)dx=p\int_{-\infty}^{\infty}xf_{1}\left(x\right)dx+\left(1-p\right)\int_{-\infty}^{\infty}xf_{2}\left(x\right)dx$$ Presumiblemente si $\int_{-\infty}^{\infty}xf_{2}\left(x\right)dx$ es infinito o indefinido, entonces el valor esperado sólo existe cuando $p=1$.

Es esta lógica correcta, incluso si $p$ está cerca, pero menos de $1$? Tampoco se extiende a más momentos así?

Answer 1

Sí, estás en lo correcto. Si $X_1 \sim f_1$, $X_2 \sim f_2$, y $X_3 \sim f_3$, entonces su ecuación muestra que $$E(X_3) = p \cdot E(X_1) + (1-p) \cdot E(X_2)$$ Therefore if either one of $E(X_1)$ or $E(X_2)$ in non-finite/non-existent then $E(X_3)$ will be non-finite/non-existent also if $p \en (0,1)$ - this is true even if $p$ is very near $0$ or $1$.

Para obtener algunos intuición para esto, tenga en cuenta que la mezcla de distribución puede ser el pensamiento de un dibujo de $f_1$ con una probabilidad de $p$ $f_2$ con una probabilidad de $1-p$. Teniendo eso en mente, tomar un ejemplo en donde la $f_1$ es la densidad de la recíproca de una normal estándar (una distribución con infinito media), $f_2$ es el estándar de densidad normal y $p$ es algo de valor muy pequeño (es decir $.01$). Considerar el muestreo de variables que tienen densidad de $f_3$ - de la $1\%$ que se sacan de $f_1$, habrá algunos valores extremos característicos de una distribución con no-finito significa.

Usted también es correcto que esta misma lógica se aplica a los momentos de orden superior - reemplace $x$ $x^k$ en su integrales y usted puede hacer una exactamente análogo argumento. Donde se pone más complicado es cuando, por ejemplo, tanto las integrales no son finitos, pero este parece estar más allá del alcance de la pregunta :)