¿Es una variedad limitada de (Riemann) siempre totalmente delimitada?

Question

Deje $(M,g)$ ser finito dimensionales de Riemann colector. Supongo que es delimitada como un espacio métrico, es decir,$$\sup \{ d(x,y) | x,y \in M \} < \infty$$ where $ d$ is the distance induced by $g$. Is $M$ también totalmente acotado?

Sé delimitado los espacios no están totalmente delimitadas en general, pero los únicos ejemplos que conozco son en algunos infinito dimensional espacio de Banach. Creo que la respuesta debe ser sí para los colectores, ya que por Nash Incrustación Teorema de ellos son (isométrica) los subespacios de algunas espacio Euclidiano, y limita los subespacios de $\mathbb{R}^n$ son también totalmente acotado. Si esto es cierto (que se supone que voy a entender correctamente el enunciado del Teorema de Nash), hay una más de las pruebas concretas?

Answer 1

Esto es falso. Tomar la universalización de la cobertura $M$ a la de abrir de 2 dimensiones Euclidianas unidad de disco $D^2$ con centro quitado, equipado con tirar de espalda plana métrica. Dejo $d$ denotar la función de distancia en $M$ inducida por el pull-back métrica de Riemann. Afirmo que el diámetro de $M$ $\le 2$ (en realidad, es exactamente 2, pero no necesitamos este). A ver esto es conveniente identificar a $M$ con el complejo de la mitad del plano- $\{z: Re(z)<0\}$ y la universalización de la cobertura $M\to D^2\setminus 0$ con el complejo de la función exponencial. Tenga en cuenta también que por cada $y, t\in {\mathbb R}$, $$ \lim_{x\a\infty} d(x+ iy, x+)=0. $$ Además, la duración de cada ruta $(x+iy), -\infty<x<\infty$ es igual a $1$. Por lo tanto, para conectar dos puntos cualesquiera $p, q\in M$ por un camino de longitud $<2$, primero conecte $p$ $q$ por líneas horizontales a algunos puntos de $p', q'$ $Re(p')=Re(q')\ll 0$ y, a continuación, conecte $p'$ $q'$por un intervalo vertical.