En Fije la teoría, ¿qué es el símbolo de $\mathfrak d$?

Question

¿Qué es el significado de este símbolo en teoría de conjuntos como la siguiente, que parece como $b$?

Conozco el símbolo como $\omega$, $\omega_1$, y así sucesivamente, sin embargo, lo que denotan en el lema?

Gracias por cualquier ayuda:)

Answer 1

El símbolo $\mathfrak d$ es usado para denotar el que domina número de la secuencia.

Si $g,f\colon\omega\to\omega$ nos dicen que $g$ domina $f$ si para todos, pero un número finito de $n$, $f(n)\leq g(n)$.

El que domina número es el más pequeño de la cardinalidad de un dominador de la familia, es decir, el mínimo de $|F|$ tal que $F\subseteq\omega^\omega$, y para cada $f\colon\omega\to\omega$ hay algo de $g\in F$ tal que $g$ domina $f$.

Algunas observaciones:

1. $\aleph_0<\frak d\leq c$: lo anterior es cierto, porque si tenemos una contables de la familia de las funciones a través de diagonalización argumento que puede producir un no-dominado función; esto último es cierto, porque es obvio que $F=\omega^\omega$ es un dominador de la familia y su tamaño es de exactamente $\frak c$.

2. Si $\aleph_1=\frak c$$\frak c=d$, que es una consecuencia trivial de la anterior.

3. No es demostrable que hay igualdad, porque al forzar podemos asegurar que $\frak d<\frak c$.

Answer 2

Es la escritura alemana $\mathfrak{d}$por el \mathfrak{d LaTeX}. Probablemente representa un número cardinal (a veces $\mathfrak{c}$ se utiliza para representar la cardinalidad de los números reales), pero definitivamente dependería del contexto de lo que estás leyendo.