Trig % integral $\int{ \cos{x} + \sin{x}\cos{x} dx }$

Question

Suponga que tenemos:

$ \int{ \cos{x} + \sin{x}\cos{x} dx } $

2 formas de hacerlo:

% De uso $\sin{x}\cos{x} = \frac{ \sin{2x} }{2} $

Entonces $ \int{ \cos{x} + \frac{\sin{2x}}{2} dx } $

$ = \sin{x} - \frac{ cos{2x} }{ 4 } + C $

O la otra forma, acabo de ver que $ u = \sin(x), du = \cos(x)dx $

$ \int{ \cos{x} + \sin{x}\cos{x} dx } $

$ = \sin{x} + \frac{\sin^2{x}}{2} + C $

Ahora lo que veo completamente, ¿por qué no están estos resultados completamente igual?

Teniendo el resultado de 2 º,

$ \sin{x} + \frac{\sin^2{x}}{2} $

$ = \sin{x} + \frac{1}{2} ( \frac{1 - cos{2x}}{2} ) $

$ = \sin{x} + \frac{1}{4} - \frac{\cos{2x}}{4} $

Así que hay que absorber $\frac{1}{4}$ en C para ellos igual.

¿No debería ser igual de inmediato?

Answer 1

Su pregunta se reduce a esto:

Si $\int f(x) dx = F(x) + C$ $\int f(x) dx = G(x) +C$ son correctos, entonces no debería ser cierto que la $F(x)=G(x)$?

La respuesta es no. $\int f(x)dx=F(x) +C$ significa que (en el intervalo, en este caso todos los de $\mathbb{R}$) cada antiderivada de $f(x)$ tiene la forma $F(x)+C$ para algunas constantes $C$. La integral indefinida es referirse a un conjunto de funciones, es decir, todas las funciones (en el correspondiente intervalo), cuyos derivados de la igualdad de $f(x)$. Si $F'(x)=f(x)$, luego de que el conjunto puede ser escrito como $\{F(x)+C:C\in \mathbb{R}\}$. Pero el conjunto de funciones de la forma $F(x)+C$ para algunas constantes $C$ es precisamente el mismo que el conjunto de funciones de la forma $F(x)+22+C$ para algunas constantes $C$, por ejemplo. Explícitamente, $\{F(x)+C:C\in\mathbb{R}\}=\{F(x)+22+C:C\in\mathbb{R}\}$. Es decir, si $F(x)$ $G(x)$ sólo difieren por una constante y $F(x)$ es una antiderivada de $f(x)$, $\int f(x)dx=G(x)+C$ también es correcta.

Answer 2

Si escribes

$ \int{ \cos{x} + \frac{\sin{2x}}{2} dx }=\sin{x} - \frac{ cos{2x} }{ 4 } + C_1 $

y

$ \int{ \cos{x} + \sin{x}\cos{x} dx }= \sin{x} + \frac{\sin^2{x}}{2} + C_2 $,

a continuación, puedes ver lo que está sucediendo con las constantes en los dos casos ($C_1$ y $C_2$). Cuidado con elegir la notación es bueno para el entendimiento.