Quiero demostrar que $\mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}}$ es un esquema de moduli fino para las familias de líneas que pasan por el origen del plano afín. Tomé una familia plana $\mathcal{D}\rightarrow B$ y traté de asociarle un morfismo $B\rightarrow \mathbb{P}^{1}_{\mathbb{C}}$ para demostrar que el functor de módulos es representable, pero ahora mismo estoy un poco atascado por la gran generalidad (casi para mí) de la petición. ¿Puede alguien darme alguna ayuda? ¡Gracias de antemano!
Respuesta
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$\def\D{{\mathcal D}} \def\A{{\mathbb A}} \def\L{{\mathcal L}} \def\OO{{\mathcal O}}$ Dejemos que $\pi: \D \to B$ sea una familia de líneas que pasan por el origen en el plano. Así que $\D \subset B \times \A^2$ con $\pi$ la restricción de la proyección natural. Se puede demostrar que dicha familia es en realidad un haz de líneas. En este caso, el hecho de que las fibras sean naturalmente subespacios vectoriales de $\A^2$ y no sólo isomorfo a las líneas es importante.
Entonces la correspondencia entre haces vectoriales y gavillas localmente libres nos da una gavilla invertible $\L$ en $B$ y la incrustación $\D \subset B \times \A^2$ da una incrustación de las láminas localmente libres
$$ 0 \to \L \to \OO_B^{\oplus 2} $$
en la gavilla libre de rango 2. Tomando los duales obtenemos un morfismo suryente de gavillas
$$ \OO_B^{\oplus 2} \to \L^\vee \to 0 \enspace \enspace \enspace (*) $$
Un morfismo $\OO_B \to \mathcal{F}$ para cualquier gajo $\mathcal{F}$ en $B$ es sólo una sección global de $\mathcal{F}$ . Así que $(*)$ nos dice que $\L^\vee$ es generado globalmente por dos secciones globales, digamos $s_1$ y $s_2$ (es decir, las imágenes de los generadores de la gavilla libre en $\L^\vee$ ).
Entonces obtenemos un morfismo natural $\varphi: B \to \mathbb{P}^1$ dado por $b \mapsto [s_1(b):s_2(b)]$ para que $\varphi^*(\OO(1),x_1,x_2) = (\L^\vee,s_1,s_2)$ donde $x_i$ son las secciones de $\OO(1)$ procedentes de coordenadas en $\A^2$ . Dualizando obtenemos que $\varphi^*\OO(-1) = \L$ o a nivel de haces de líneas en lugar de gavillas, $\varphi^*\mathcal{T} = \mathcal{D}$ donde $\mathcal{T}$ es el haz tautológico en $\mathbb{P}^1$ .
