Diferenciabilidad compleja

Question

Lo sé:

1) Una función $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ cuando es diferenciable en un punto, tiene un $2\times 2$ como una derivada, que es una transformación lineal de $\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ que mejor aproxima la función linealmente en alguna vecindad.

2) Existe un homomorfismo de anillo $\mathbb{C} \to Mat_{2x2}(\mathbb{R})$ como $a+ib \longmapsto \left[\begin{array}{11}a & -b\\b & a \end{array}\right]$

3) Para una función $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ Puedo definir la diferenciabilidad compleja como la mejor $\mathbb{C}$ -aproximación lineal de la función localmente en un punto, es decir, $f'(z_0):h \mapsto f'(z_0)h$

Ahora, quiero combinar estas tres observaciones, para que la ecuación de Cauchy-Riemann caiga al considerar una función compleja diferenciable como una función de $\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ y conectar el jacobiano con el $\mathbb{C}$ -transformación lineal a través del homomorfismo.

Tengo problemas incluso para formular una proposición que pueda demostrar. ¿Debo definir algo llamado "complejizar una $\mathbb{R}^2$ -¿"Operador"? Se agradecerá cualquier ayuda.

El resultado será que podré "trasladar" las pruebas de algunos de los resultados básicos de las funciones holomorfas (como el hecho de que si las derivadas parciales de las funciones coordenadas existen y son continuas, entonces la función será holomorfa, etc.) a las del cálculo multivariable.

Answer 1

Lema. Dejemos que $T:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ sea $\mathbb{R}$ -lineal (considerando $\mathbb{C}$ como $\mathbb{R}$ -espacio vectorial simplemente restringiendo la multiplicación escalar). Entonces lo siguiente es equivalente:

• (i) T es $\mathbb{C}$ -lineal
• (ii) Existe $\lambda\in\mathbb{C}$ tal que $T(z)=\lambda z$ para todos $z\in\mathbb{C}$ (es decir, T es la multiplicación por $\lambda$ ).
• (iii) La matriz de $T$ con respecto a la norma $\mathbb{R}^2$ -La base es $\left[\begin{array}{11}a & -b\\b & a \end{array}\right]$ , donde $a+bi=\lambda$ .

Supongamos ahora que $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ es diferenciable de forma compleja en $z_0$ es decir $T:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ , $z\mapsto f'(z_0)z$ es el $\mathbb{C}$ -derivada lineal. Entonces $T$ es también el mejor $\mathbb{R}$ -aproximación lineal de $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ : $\frac{|f(x)-f(z_0)-T(z-z_0)|}{|z-z_0|}=\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f'(z_0)\right|\to 0$ .

Por lo tanto, la matriz de $T$ es el jacobiano de $f$ . Recordando que las entradas de la matriz del jacobiano son las derivadas parciales, a partir del lema obtenemos las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Por el contrario, supongamos que $f$ es totalmente diferenciable como mapa $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ y se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Entonces existe un único $\mathbb{R}$ -mapa lineal $T:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ que es la mejor aproximación, es decir

$\frac{|f(x)-f(z_0)-T(z-z_0)|}{|z-z_0|}\to 0$ .

Sabemos que las entradas de su matriz son las derivadas parciales. Como se cumplen las ecuaciones de Cauch-Riemann, el lema dice que $T$ es $\mathbb{C}$ -lineal, digamos $T(z)=\lambda z$ . Tenga en cuenta que

$\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-\lambda\right|=\frac{\left|f(z)-f(z_0)-c(z-z_0)\right|}{|z-z_0|}=\frac{|f(x)-f(z_0)-T(z-z_0)|}{|z-z_0|}\to 0$ .

Por lo tanto, $T$ es también la derivada compleja.

Answer 2

Buena pregunta. La definición de una función diferenciable $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ se traslada literalmente del cálculo multivariable: es una función tal que podemos escribir $f(x + h) = f(x) + df_x(h) + o(|h|)$ para cualquier $x$ y lo suficientemente pequeño $h$ , donde $x, h \in \mathbb{C}$ y $df_x(h)$ es un operador lineal $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ .

Ahora identificamos $\mathbb{C}$ con $\mathbb{R}^2$ . Entonces la "realización" de $df_x(h)$ es el jacobiano de $f$ como una función diferenciable $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ y está dada por la multiplicación por un número complejo, por lo que sus observaciones tienen sentido.