¿Por qué se asigna la distancia entre dos miembros de un espacio métrico a un número real? El conjunto de los números reales es en sí mismo (junto con la función de distancia euclidiana) un espacio métrico - en cuyo caso, los números reales se utilizan para describir una propiedad de los números reales (ellos mismos). ¿Cómo es eso posible? (¿Cómo puede usted usar algo para describir a sí mismo?)
Respuestas
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Tienes razón en que el número real debe ser definido antes de métrica espacios definidos desde la definición de un espacio métrico utiliza los números reales.
Sin embargo, sólo porque los números reales de pasar a ser un espacio métrico no significa que la métrica espacios fueron utilizados en la definición de los números reales. Definir los números reales (sin ninguna referencia a la noción de un espacio métrico), a continuación, defina un espacio métrico, a continuación, mostrar que los números reales son un espacio métrico. Ningún razonamiento circular.
EDITAR Como un comentarista señaló, la costumbre métrica aplicada a los racionales toma valores en los racionales y por lo tanto no requiere de los reales a definirse a usar... simplemente modificar la definición de la métrica del espacio, de modo que la distancia es racional valores de y todo queda en su lugar. Como fue, quizás, parte de la confusión, el concepto de distancia se utiliza en la definición de una secuencia de Cauchy, que es parte de una posible definición de los números reales como clases de equivalencia de Cauchy secuencias de racionales. Usted no necesita ir a través de todo el formalismo de la definición de un (racional, ordenado o campo de valores) espacio métrico con el fin de utilizar la noción de distancia sobre los racionales, pero que sin duda podría traer constantemente aquí. Y la distancia es indispensable concepto en este enfoque, por lo que en cierto sentido ya está allí.
Hurkyl
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Que requiere la función de distancia en los reales a ser un valor real no es más circular que se requiere que la suma de dos reales de ser real.
Que podemos utilizar los números reales para la distancia típica de los intereses de los geómetras; antes de ejemplos de que la noción de espacio métrico se pretende generalizar tenía verdaderas distancias, y los tipos de espacios a muchas personas les gusta estudiar adecuadamente medido por el real distancias.
Incluso hay un antes de la razón por la que los reales de hacer un buen objetivo: ellos son los únicos linealmente ordenado, completo, Arquímedes abelian grupo. (por ejemplo, ver Wikipedia)
Aplicaciones especializadas podrían preferir una definición diferente de la métrica; por ejemplo, véase Wikipedia de nuevo.
laleh8798
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Los números reales (o la línea real) proporcionar un prototipo de este concepto. Posiblemente usted leer una definición axiomática de un espacio métrico primero donde el autor muestra que los números reales es uno de tales buen ejemplo. Este enfoque causó la confusión.
Es de estas propiedades de los números reales y la función de $x-y$ que es extraída para dar la definición de un espacio métrico.
Todas las definiciones son abstracciones de una bien entendida ejemplo. ASÍ que nada de la circular no. Es como la Declaración: El conjunto de números naturales es countably conjunto infinito. Prueba: Tomar la identidad de la función.
El contable de conjuntos se basa en el conjunto de los números naturales.
