Son $\mathbb{R}$ y $\mathbb{Q}$ los únicos subcampos no triviales de $\mathbb{R}$ ?

Question

Me han pedido que demuestre que cualquier subcampo de $\mathbb{R}$ contiene $\mathbb{Q}$ y sé cómo hacerlo, pero me hizo preguntarme si había subcampos de $\mathbb{R}$ que contenía estrictamente $\mathbb{Q}$

Answer 1

Hay infinitos campos de este tipo. Un ejemplo particular es $\{x+y\sqrt 2\mid x,y\in \mathbb Q \}$ . Es fácil comprobar que se trata de un subcampo propio de $\mathbb R$ que contiene adecuadamente $\mathbb Q$ . De manera más general, dejemos que $\alpha \in \mathbb R$ sea cualquier número irracional. Entonces, como la intersección de cualquier familia de subcampos de un campo dado es de nuevo un campo, existe el subcampo más pequeño de $\mathbb R$ que contiene $\alpha$ . Este campo se suele denominar $\mathbb Q(\alpha)$ . Ciertamente contiene $\mathbb Q$ y no es difícil demostrar (tómalo como un bonito ejercicio) que debe estar debidamente contenido en $\mathbb R$ .

Lo anterior ya te da un enorme (infinito) repositorio de campos intermedios. Pero hay más. Recordemos que un número real algebraico es un número real que es la raíz de un polinomio con coeficientes enteros. Se necesita un poco de teoría general de campos para demostrar que la colección de todos los números reales algebraicos forma un campo. La existencia de los números trascendentales demuestra que este campo está adecuadamente contenido en $\mathbb R$ . Y hay aún más campos intermedios.

Para situar las cosas en el contexto adecuado, recordemos que cualquier campo $F$ que contiene $\mathbb Q$ puede verse como un espacio vectorial de $\mathbb Q$ . Todo espacio vectorial tiene una dimensión. La dimensión de $\mathbb R$ en $\mathbb Q$ es infinito. Así que en ese sentido la extensión del campo $\mathbb R:\mathbb Q$ es muy grande. Para cada número natural $n$ hay un campo intermedio $\mathbb Q\subseteq F\subseteq \mathbb R$ cuya dimensión sobre $\mathbb Q$ es $n$ .

Answer 2

No sólo hay extensiones no triviales de dimensión finita de $\mathbb Q$ dentro de $\mathbb R$ Hay $2^{\mathfrak c}$ extensiones de dimensión infinita indexadas por los subconjuntos de una base de trascendencia de $\mathbb R$ en $\mathbb Q$ .

Las bases de trascendencia desempeñan un papel importante en varias áreas del álgebra. Una referencia para ellas se encuentra en la obra de David Eisenbud Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer Verlag Graduate Texts in Mathematics vol 150, 1994, página 562. Un conjunto finito $\mathfrak f$ de elementos de un campo, digamos $\mathbb R$ sobre un subcampo, digamos $\mathbb Q$ se llama algebraicamente independiente si $\mathbb Q\left[\mathfrak f\right]$ es un álgebra libre conmutativa, es decir, un anillo de polinomios, en $\mathfrak f$ con coeficientes en $\mathbb Q$ por lo que el campo generado por $\mathbb Q$ son funciones racionales en $\mathfrak f$ . Como se ve en el texto de Eisenbud, esta definición puede extenderse a conjuntos infinitos y un conjunto máximo algebraicamente independiente es una base de trascendencia. Distintos subconjuntos de esta base de trascendencia generarán distintos subcampos.

Answer 3

Definitivamente hay subcampos de $\mathbb{R}$ que contienen adecuadamente $\mathbb{Q}.$ El ejemplo más común es $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ . Esta es una de las extensiones de campo más pequeñas de $\mathbb{Q}$ donde "más pequeño" se define en términos del grado de la extensión del campo que es simplemente la dimensión de la extensión vista como un espacio vectorial (verificación trivial de que esto es posible). $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ está definitivamente contenida en $\mathbb{R}$ . Puede leer más sobre las extensiones de campo aquí.