En $\mathbb{R}^{2n}$ con coordenadas $x_1, x_2, \dots, x_{2n}$ consideremos una 2 forma exterior $$\eta = \sum_{k=1}^n x_{2k-1} \wedge x_{2k}.$$ Dada una forma 1 $\alpha = \sum_{i=1}^{2n} a_ix_i$ , ¿cuál es la forma 1 $$\beta = \star\left(\alpha \wedge \underbrace{\eta \wedge \dots \wedge \eta}_{n-1}\right)?$$ Muchas gracias de antemano.
Respuesta
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Tenemos $$\eta^{n-1} = (n-1)! \sum_{j=1}^n x_1 \wedge \dots \wedge x_{2n} \text{ (}x_{2j - 1} \wedge x_{2j} \text{ is missing).}$$ Entonces $$x_{2j - 1} \wedge \eta^{n-1} = (n-1)! \sum_{j=1}^n x_1 \wedge \dots \wedge x_{2n} \text{ (}x_{2j} \text{ is missing)}$$ y $$x_{2j} \wedge \eta^{n-1} = (n-1)! \sum_{j=1}^n x_1 \wedge \dots \wedge x_{2n} \text{ (}x_{2j-1}\text{ is missing).}$$ Por lo tanto, $\star(x_{2j-1} \wedge \eta^{n-1}) = (n-1)!x_{2j}$ y $\star(x_{2j} \wedge \eta^{n-1}) = -(n-1)!x_{2j-1}$ .
Por lo tanto, \begin{align}\beta &= \star(\alpha \wedge \eta^{n-1}) = \sum_{j=1}^n (a_{2j-1} \star (x_{2j-1} \wedge \eta^{n-1}) + a_{2j} \star (x_{2j} \wedge \eta^{n-1}))\\ &= (n-1)! \sum_{j=1}^n (-a_{2j} x_{2j-1} + a_{2j-1} x_{2j}).\end{align} Obsérvese que estas fórmulas también son válidas para $n=1$ . En este caso, $\star(a_1x_1 + a_2x_2) = a_1x_1 - a_1x_2$ .
