Finito morfismos de los esquemas están cerrados

Question

Quiero demostrar que la finitos morfismos de esquemas cerrados, pero no puedo probar el afín caso, a saber:

Dado un número finito de morfismos de anillos de $\varphi :B \to A$ demostrar que la inducida por morfismos de esquemas $f:X \to Y$ es cerrado.

Para esto, estoy tratando de mostrar que $f(V(I))=V(\varphi ^{-1}(I))$ donde $V(I)$ denota el conjunto de todos los primos ideales que contienen a $I$.

Me las arreglé para demostrar la anterior igualdad sólo al $I$ es el primer (Va-Up teorema), pero me falta algo al $I$ es arbitraria ideal de $A$. También, a partir de esto puedo llegar a la conclusión de al $A$ es noetherian, ya que cualquier conjunto cerrado sería una unión finita de irreductible conjuntos cerrados, pero no puedo averiguar el caso general.

Answer 1

Como el comentario que dijo, primero tenemos que reducir para el caso de $I=0$, debido a $B \to A \to A/I$ todavía satisface. Y, a continuación, reducir, para el caso de $\varphi$ es inyectiva ya que puede sustituir a $B$$B/\ker(B \to A)$.

Pero antes de usar el va-up teorema, tenemos que mostrar que si $\varphi: B \to A$ es inyectiva, entonces $\mathrm{Spec}(A) \to \mathrm{Spec}(B)$ golpea a todos por la mínima de los números primos de $\mathrm{Spec}(B)$.

Si $p$ es un mínimo de primer $B$, $B_p$ tiene un único primer ideal. Desde la localización de una secuencia exacta es exacta, $A_p$ tiene un primer $PA_p$ tal que $PA_p \cap B_p=pB_p$.

Ahora podemos utilizar el va-up teorema.