Unión de ordinales

Question

De Jech (pág. 20): Si $X$ es un conjunto no vacío de ordinales, que $\bigcup X$ es un ordinal.

Esto debería ser bastante fácil de demostrar, pero no veo cómo; además, supongo que no es el caso si $X$ es una clase propia, por lo que la diferencia debe aparecer en la prueba y no veo por dónde sale.

Answer 1

Supongamos que $X$ es un conjunto de ordinales. En primer lugar, hay que tener en cuenta que por el axioma de unión tenemos que $\bigcup X$ también es un conjunto.

Primero queremos demostrar que $\bigcup X$ es transitivo, es decir $x\in\bigcup X$ entonces $x\subseteq X$ . Supongamos que $x\in\bigcup X$ entonces hay algo de $\alpha\in X$ tal que $x\in\alpha$ . Desde $\alpha$ es un ordinal es un conjunto transitivo y por lo tanto $x\subseteq\alpha$ y como $\alpha\subseteq\bigcup X$ tenemos $x\subseteq\bigcup X$ como se quería.

Ahora queremos demostrar que está ordenado linealmente por $\in$ Así que toma $x,y\in\bigcup X$ . Entonces hay $\alpha,\beta\in X$ tal que $x\in\alpha$ y $y\in\beta$ . Por el lema 2.11 (p. 19) sabemos que $\alpha\in\beta$ o $\beta\in\alpha$ o $\alpha=\beta$ . En cualquier caso, podemos suponer sin pérdida de generalidad que $x,y\in\alpha$ . Desde $\alpha$ está ordenado linealmente por $\in$ tenemos que $x\in y$ o $y\in x$ o $x=y$ como se quería.

Por último, para demostrar que todo conjunto no vacío tiene un mínimo elemento podemos recurrir al axioma de regularidad que dice que $\in$ está bien fundamentada. Para verlo directamente también podemos argumentar lo siguiente:

Dejemos que $A\subseteq\bigcup X$ ser no vacía. Hay algunos $\alpha\in X$ tal que $A\cap\alpha\neq\varnothing$ . Desde $\alpha$ está bien ordenado tenemos que $\alpha\cap A$ tiene un elemento mínimo, llámalo $x$ . Supongamos que $x$ no era mínimo en $A$ entonces hay algo de $y\in A$ tal que $y\in x$ Sin embargo $x\in\alpha$ por lo tanto $x\subseteq\alpha$ Así que $y\in\alpha$ y por lo tanto $y\in A\cap\alpha$ lo que contradice el hecho de que $x$ era el elemento mínimo de $A\cap\alpha$ .