Entero de soluciones de $n^3 = p^2 - p - 1$

Question

Encontrar todos los enteros soluciones de la ecuación, $n^3 = p^2 - p - 1$, donde p es primo.

Answer 1

Destacar, ya que era esencialmente hecho anteriormente, que $$ (8p-4)^2 = (4n)^3+80, $$ nos lleva a encontrar la integral de puntos de la curva elíptica $Y^2=X^3+80$. Hay varios métodos eficaces para hacer esto, aplicado en varios sistemas de álgebra computacional. El uso de Magma, por ejemplo, se nos dice que estos puntos tienen $$ (X,|Y|) \en \{ (-4,4), (1,9), (4,12), (44,292) \}, $$ conduce a $(p,n)=(2,3), (11,37)$.

Mordell curvas como este (es decir, curvas elípticas de la forma $Y^2=X^3+k$) han sido completamente resuelto (al menos en términos de búsqueda de su formación integral puntos) para todos los $|k| < 10^7$ o así; para los valores de a $10^4$, no se publica el trabajo de Gebel, Petho y Zimmer.

No es probable que un vago acercamiento elemental a este problema, así.

Answer 2

(También una aproximación parcial - demasiado largo para un comentario.)

Este problema es equivalente a mostrar que:

$$(2p-1)^2 - 5 = 4n^3$$

Podemos fijarnos en el anillo de enteros algebraicos en $\mathbb Q[\sqrt{5}]$. Esto puede ser escrito como $R=\mathbb Z[\omega]$ donde $\omega=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.

Luego tenemos a $N(p+\omega)=N\left(\frac{2p-1 + \sqrt{5}}{2}\right)=n^3$ donde $N$ es la norma. Mi memoria es malo, pero creo $R$ es un UFD. Si $R$ es una única factorización de dominio, esto significa que $p+\omega$ factores como la de un cubo perfecto en $R$ algunas veces la unidad.

Es muy fácil demostrar que $p+\omega$ no es un cubo perfecto en $R$. Pero luego están los otros de la unidad de los casos. Usted puede restringir el mismo a las unidades de $\omega$$1-\omega$, creo. Howver, no está seguro de cómo proceder a partir de ahí.